Subespacios

Si $\mathbb{V}$ es un $\mathbb{K}$ espacio vectorial, entonces se dice que $S\subset \mathbb{V}$ es un subespacio de $\mathbb{V}$ si se cumplen las siguientes propiedades $(S\ne \varnothing )$

• ${\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}\in S$
• Si $u,v\in S$, se cumple $u+v\in S$. Cerrado para la suma
• Si $u\in S$, $\lambda \in \mathbb{K}$, se cumple $\lambda u\in S$. Cerrado para producto por escalar

Al estar incluido en un espacio vectorial $\mathbb{V}$, se cumplen las mismas propiedades.

Un subespacio se puede anotar como el conjunto de todas las combinaciones lineales entre $n$vectores $v_i$, $S=gen(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$. El conjunto generador de $S$ no es único

Todos los elementos del subespacio se pueden formar como combinación lineal de los elementos del generador de $S$.

$$\forall w\in S,w=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$$

¿Cómo pruebo que dos conjuntos generan el mismo subespacio?

Se debe demostrar la doble inclusión, es decir, se deben poder formar los elementos del generador de $S_1$ a partir de los elementos de $S_2$ y viceversa. $S\subseteq T,T\subseteq S$

¿Cómo demuestro que dos conjuntos generan un espacio vectorial?

Para esto, tengo que buscar la expresión más general del espacio vectorial, y verificar que el sistema sea compatible para todos los casos

Independencia Lineal

Se dice que un generador es linealmente independiente si ninguno de sus componentes se puede formar como combinación lineal del resto de componentes.

Equivalencia: Es linealmente independiente si la solución para formar el elemento neutro es única, es decir, con todos los escalares nulos.

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i=0⟹{\lambda }_i=0\forall i$$

Se dice que un generador es una base si es linealmente independiente. Todas las bases de $S$ tienen la misma cantidad de elementos. A la cantidad de elementos de la base de se le llama dimensión de $S$.

El subespacio nulo $\{{\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}\}$ tiene dimensión 0, no tiene base.

Si dos subespacios $S,T$ tienen la misma dimensión, solo es necesario demostrar que $S\subseteq T$ para concluir que son equivalentes.

Independencia Lineal de Funciones en $C^n$

Para demostrar que son linealmente independientes, igualamos una combinación lineal al elemento neutro, y recordando la propiedad de las derivadas, podemos derivar la ecuación respecto a la variable independiente cuantas veces nos permita el conjunto. ($n-1$) veces.

Se le llama Wronskiano al determinante de la matriz de funciones.

$$\left(\begin{array}{cccc}{\varphi }_1(x)& {\varphi }_2(x)& \cdots & {\varphi }_m(x)\\ {\varphi }_1^{\prime }(x)& {\varphi }_2^{\prime }(x)& \cdots & {\varphi }_m^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ {\varphi }_1^{(n-1)}& {\varphi }_2^{(n-1)}& \cdots & {\varphi }_m^{(n-1)}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$

Teorema del Wronskiano:

Si para algún $x_0\in I$ se cumple que el Wronskiano $\ne$ de 0, entonces el conjunto de funciones es linealmente independiente. (El recíproco del teorema no es verdadero)