Ecuaciones Diferenciales 2

Diferencial Exacto

Si la EDO no es de variables separables, entonces puedo tratar de escribir la ecuación de la forma

$$f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy=0$$

Si encuentro una función $\phi (x,y)$ cuyas derivadas parciales sean las funciones $f,g$. Entonces puedo igualar $0$ al diferencial de $\phi$. Siendo esta una función constante

$$d\phi ={\phi }_x^{\prime }dx+{\phi }_y^{\prime }dy=0$$

la solución de la ecuación diferencial son los puntos $(x,y)$ que verifican la igualdad $\phi =k$

Para verificar si existe la función $\phi$, basta con verificar que el campo $f$ sea conservativo

$$f(x,y)=(f_1,f_2)=({\phi }_x^{\prime },{\phi }_y^{\prime })$$

Note

Un campo es conservativo si las derivadas segundas cruzadas de su función potencial son iguales, y el dominio es un conjunto simplemente conexo. $f_{1y}^{\prime }=f_{2x}^{\prime }\to {\phi }_{xy}^{\prime \prime }={\phi }_{yx}^{\prime \prime }$

Factor Integrante

Cuando la función potencial $\phi$ no existe. Podemos multiplicar la ecuación por un factor integrante para convertirla en un diferencial exacto.

$$\underset{F_1}{\underbrace{f_1\cdot \mu }}\cdot dx+\underset{F_2}{\underbrace{f_2\cdot \mu }}\cdot dy=0$$

Para encontrar $\mu$, buscamos las diferencias entre las derivadas cruzadas y las dividimos por $f_1$ o $f_2$. Si alguno de estos dos cocientes da una función $g$ dependiente de una sola variable, entonces el método puede funcionar. La función $\mu$ depende únicamente de la misma variable que $g$

$$\frac{f_{1y}^{\prime }-f_{2x}^{\prime }}{f_1}=g$$ $$\frac{f_{1y}^{\prime }-f_{2x}^{\prime }}{f_2}=g$$

Si se cumple esta condición, entonces buscamos un $\mu$ que fuerce la ecuación diferencial a ser un diferencial exacto.

Igualamos las derivadas cruzadas de la nueva función $F$ y resolvemos para el factor integrante $\mu$

$$F_{1y}=F_{2x}$$

Ahora que tenemos $\mu$, resolvemos la nueva ecuación diferencial con el método del diferencial exacto, buscando la función potencial $\phi$

$$({\phi }_x^{\prime },{\phi }_y^{\prime })=(F_1,F_2)$$