Propiedades de Variables Aleatorias

Suma de Distribuciones Poisson

Sean $X,Y$ dos distribuciones independientes Poisson de parámetro $\mu ,\lambda$. Entonces si definimos la variable aleatoria $W=X+Y$. Podremos ver que la distribución de $W$ será una Poisson de parámetro $\mu +\lambda$.

Método del Jacobiano

Sean $Y_1,Y_2$ dos V.A.C. tal que para todo $y_1,y_2$ se cumple que $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)>0$, entonces $u_1=h_1(y_1,y_2)$ y $u_2=h_2(y_1,y_2)$ Es una transformación $1$ a $1$ de $Y$ a $U$ con inversa $y_1=h_1^{-1}(u_1,u_2),y_2=h_2^{-1}(u_1,u_2)$.

Si las inversas tienen derivadas parciales continuas respecto a $u_1,u_2$ con jacobiano $J$, entonces se cumple que

$$f_{U_1,U_2}(u_1,u_2)=\frac{f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)}{|J|}{|}_{h_1^{-1},h_2^{-1}}$$

Método del Jacobiano Generalizado

Si $X$ es un vector aleatorio, e $Y=g(X)$. Con $g$ tal que $g|A_i=g_i$ es biyectiva, continua, con derivada continua, donde $A_i\dots A_k$ es una partición del soporte de $X$, entonces

$$f_Y(y)=\sum _{i=1}^k\frac{f_X(x)1\{x\in A_i\}}{|J_{g_i}(x)|}{|}_{x=g_i^{-1}(y)}$$

Note

Si no podemos aplicar el método del Jacobiano, tendremos que usar el método de eventos equivalentes.