Integrales de Línea

$$\text{Curva }\gamma (t):\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$$

Si la derivada de la curva existe para todo punto y es continua, se dice que es una parametrización suave.

$$ds=\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert dt$$

Entonces la longitud $L$ de la curva es la suma de todos los $ds$, fragmentos de curva.

$$\boxed{long(C)={\int }_a^b\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert dt}$$

Note

La integral no depende de la parametrización elegida

Integral de Campos Escalares sobre Curvas

Masa

$$\text{densidad lineal }\delta =\frac{dM}{dL},M=\delta \cdot ds$$ $$\text{masa }M=\int \delta ds$$

Tomando estas definiciones, llegamos a que:

$$\boxed{M={\int }_a^b\delta (\gamma (t))\cdot \Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \cdot dt}$$

Centro de Masa

$$r_{cm}=\frac{\sum m_i\cdot {\vec{r}}_i}{\sum m_i}$$

Si aplicamos las definiciones anteriores:

$$\boxed{r_{cm}=\frac{{\int }_a^b\gamma (t)\cdot \delta (\gamma (t))\cdot \Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \cdot dt}{{\int }_a^b\delta (\gamma (t))\cdot \Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \cdot dt}}$$

Momento de Inercia

$$I_x=\sum m_i\cdot x_i^2$$

Con integrales, entonces:

$$\boxed{I_x={\int }_a^b\delta (\gamma (t))\cdot {\gamma }_x^2(t)\cdot \Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \cdot dt}$$

Note

Se calcula de forma análoga para los otros ejes

Integral de Campos Vectoriales sobre Curvas

Trabajo de Fuerza

Cuando trabajamos con una partícula en un campo de fuerzas, sea $\gamma$ su trayectoria y $f$ el campo de fuerzas.

$$W_c(\vec{f})=\int \vec{f}\cdot d\vec{s}$$ $$d\vec{s}={\vec{\gamma }}^{\prime }(t)dt$$

Entonces, el trabajo de una fuerza es (circulación de $f$ sobre $c$):

$$\boxed{W_c(\vec{f})={\int }_a^b\vec{f}(\vec{\gamma }(t))\cdot {\vec{\gamma }}^{\prime }(t)\cdot dt}$$

Note

La integral no depende de la parametrización elegida, pero sí del sentido.

Note

En general, el trabajo entre $P$ y $Q$ depende de la trayectoria, a menos que se trate de campos conservativos. Para los cuales la integral es independiente de la trayectoria.

$$\underset{\begin{array}{c}\text{Integral sobre}\\ \text{sobre curva}\\ \text{cerrada}\end{array}}{\underbrace{{\oint }_C}}\vec{f}\cdot d\vec{s}\ne 0⟹\text{campo no conservativo}$$

Si $\vec{f}$ es un campo conservativo, entonces es el gradiente de una función potencial $\phi$

$$\vec{f}=\nabla \phi$$ $${\int }_a^b\vec{f}(\vec{\gamma }(t))\cdot {\vec{\gamma }}^{\prime }(t)\cdot dt=\int \underset{\left(\phi \right(\vec{\gamma }(t)){)}^{\prime }}{\underbrace{\nabla \phi (\vec{\gamma }(t))\cdot {\vec{\gamma }}^{\prime }(t)}}\cdot dt$$ $$W_f=\underset{\text{Punto Final}}{\underbrace{\phi (\vec{\gamma }(b))}}-\underset{\text{Punto Inicial}}{\underbrace{\phi (\vec{\gamma }(a))}}$$

Note

La matriz jacobiana de un campo conservativo debe ser simétrica

$$J_f=\left(\begin{array}{ccc}{f}_{1_x}^{\prime }& f_{1_y}^{\prime }& f_{1_z}^{\prime }\\ f_{2_x}^{\prime }& f_{2_y}^{\prime }& f_{2_z}^{\prime }\\ f_{3_x}^{\prime }& f_{3_y}^{\prime }& f_{3_z}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{Q}_{xx}^{\prime \prime }& Q_{xy}^{\prime \prime }& Q_{xz}^{\prime \prime }\\ Q_{yx}^{\prime \prime }& Q_{yy}^{\prime \prime }& Q_{yz}^{\prime \prime }\\ Q_{zx}^{\prime \prime }& Q_{zy}^{\prime \prime }& Q_{zz}^{\prime \prime }\end{array}\right)$$

Encontrar función potencial $\phi$

$$\{\begin{array}{l}{f}_1={\phi }_x^{\prime }\\ f_2={\phi }_y^{\prime }\\ f_3={\phi }_z^{\prime }\end{array}\text{Sist. de ED en derivadas parciales}$$

Se resuelve integrando y derivando respecto de $x,y,z$.

Condición Necesaria y Suficiente para Campo Conservativo

Sea $F$ un campo de fuerzas, entonces es conservativo en $D$ si $J_F$ es simétrico y continuo en $D$, y $D$ es simplemente conexo.

Simplemente Conexo

Un conjunto es simplemente conexo si para toda curva cerrada contenida en $D$, la puedo contraer hasta tener un solo punto, también incluido en $D$.