Estadísticos

Un estadístico es cualquier función medible $T_m=T(\underline{X})$ con valores en un espacio euclídeo de dimensión finita.

Dado una muestra aleatoria $\underline{X}$, un estadístico es una función de la muestra aleatoria que, evaluada en los valores observados, debe poder resultar en un valor numérico.

Esta función no puede depender de parámetros desconocidos.

Estadísticos Suficientes

Sea $\underline{X}$ un vector aleatorio de dimensión $n$ cuya distribución es $F_{\theta }(\underline{x})$, $\theta \in M$, se dice que un estadístico $T$ es suficiente para $\theta$ si la distribución de $\underline{X}$ condicionada a que $T=t$ es independiente de $\theta \forall t$

Esto significa que si conozco $T$ y la distribución $\underline{X}|T=t$, entonces puedo reconstruir una muestra con la misma distribución que la muestra original.

Un estadístico es una función de la muestra aleatoria, por lo que también es una variable aleatoria.

Teorema de Factorización

Sea $\underline{X}$ un vector aleatorio con función de densidad (o probabilidad) conjunta $f_{\theta }(\underline{x}),\theta \in M$, entonces el estadístico $T=r(\underline{X})$ es suficiente para $\theta$ si y solo si existen dos funciones $h,g$ tales que

$$f_{\theta }(x)=g(r(\underline{x}),\theta )\cdot h(\underline{x})$$

Para el caso de familias exponenciales a $k$ parámetros, entonces tendrá como estadístico suficiente al vector:

$T=(r_1(\underline{x}),\cdots ,r_k(\underline{x}))$