Topología

Distancia en $R^{n}$

Dados dos puntos $x, y$ , definimos la distancia euclídea entre ellos como:

d (x, y) = ∥ x - y ∥ = (x_{1} - y_{2})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2} + ... + (x_{n} - y_{n})^{2}

Esta distancia es definida positiva, simétrica, y verifica la propiedad triangular: $\forall x, y, z : d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)$

Existen tres tipos de $n$ -bolas:

$n$ -bola abierta: $B (x_{0}, r) = {x \in R^{n} / d (x, x_{0}) < r}$
$n$ -bola cerrada: $B (x_{0}, r) = {x \in R^{n} / d (x, x_{0}) \leq r}$
$n$ -bola abierta reducida: $B (x_{0}, r) = {x \in R^{n} /0 < d (x, x_{0}) < r}$

Dado un punto $x$ y un subconjunto $A$ , diremos que:

$x$ es un punto interior de $A$ si existe $r > 0$ tal que $B (x, r) \subset A$
$x$ es un punto exterior de $A$ si existe $r > 0$ tal que $B (x, r) \subset A^{c}$
$x$ es un punto frontera de $A$ si para todo $r > 0$ , $B (x, r)$ contiene puntos de $A$ y de $A^{c}$
$x$ es un punto de acumulación de $A$ si para todo $r > 0$ , $B (x, r) \subset$ infinitos puntos de $A$
$x$ es un punto aislado de $A$ si existe $r > 0$ tal que $B (x, r) \cap A = {x}$

Dado el subconjunto $A$ , diremos que:

$A^{0}$ es el conjunto de puntos interiores de $A$
$E x t (A)$ es el **conjunto de puntos exteriores de $A$
$\partial A$ es el conjunto de puntos frontera de $A$
$A^{´}$ es el conjunto de puntos de acumulación de $A$ , se denomina conjunto derivado de $A$
$I (A)$ es el conjunto de puntos aislados de $A$
$\overset{ˉ}{A}$ es el conjunto $A \cup A^{´}$ . Se denomina clausura de $A$

Dado el subconjunto $A$ , se puede clasificar como:

$A$ es convexo si con cada par de puntos de $A$ , el segmento que los une también pertenece a $A$
$A$ es conexo si está formado por una sola parte
$A$ es arco conexo si para cada par de puntos de $A$ existe una curva contenida en $A$ que los une
Si $A$ es conexo, también es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en $A$ , forma un conjunto contenido en $A$