Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Se dice que una función $f (t, y)$ satisface una condición de Lipschitz en la variable $y$ en un conjunto $D \subset R^{2}$ si existe una constante positiva $L$ tal que

∥ f (t, y_{1}) - f (t, y_{2}) ∥ \leq L ∥ y_{1} - y_{2} ∥; (t, y_{1}), (t, y_{2}) \in D

Teorema Condición: Sea $f (t, y)$ definida en el conjunto $D$ conexo, entonces si existe una constante positiva $L$ tal que:

\frac{\partial f}{\partial y} (t, y) \leq L, \forall (t, y) \in D

Entonces $f$ satisface una condición de Lipschitz en $D$ en la variable $y$ .

Teorema Unicidad: Sea $D = {(t, y) : a \leq t \leq b; - \infty \leq y \leq \infty}$ y la función $f (t, y)$ continua en $D$ , entonces si $f$ satisface la condición de Lipschitz en $D$ en la variable $y$ , entonces el problema de valores iniciales

PVI: {y^{'} (t) = f (t, y) a \leq t \leq b y (a) = y_{0} (1)

tiene solución única en $y (t)$ para $a \leq t \leq b$

Teorema Bien Planteado: Sea $D = {(t, y) : a \leq t \leq b; - \infty \leq y \leq \infty}$ . Si $f$ es continua y satisface la condición de Lipschitz en la variable $y$ en el dominio $D$ , entonces el problema de valores iniciales $(1)$ está bien planteado.

Método de Euler

Este método genera aproximaciones a la solución $y (t)$ en distintos valores, llamados puntos de red en el intervalo $[a, b]$ . Estos puntos se seleccionan de la forma $t_{i} = a + ih, \forall i = 0, 1, 2, \dots, N$

La distancia $h$ entre los puntos recibe el nombre de paso.

Planteamos un polinomio de Taylor centrado en $t_{i}$ , para hallar una aproximación para la solución de $y (t_{i + 1}) \approx y_{i + 1}$ , despreciando el término del error.

y_{i + 1} = y_{i} + h f (t_{i}, y_{i}); y (a) = y_{0}

Cota de Error: La sucesión de los $y_{i}$ generada por el método de Euler produce la acotación

∥ y (t_{i}) - y_{i} ∥ \leq \frac{h M}{2 L} [e^{L (t_{i} - a)} - 1]

Este método es muy inefectivo a medida que incrementamos la distancia entre el $t_{0}$ y $t_{n}$ . Para aproximaciones lejanas es conveniente usar el método de Runge-Kutta.

Método de Runge-Kutta

Este método es similar al método de Euler, pero utiliza una función $φ$ que permite corregir el error que se va cometiendo.

y_{i + 1} = y_{i} + ϕ (t_{i}, y_{i}, h) \cdot h

Definimos $φ (t_{i}, y_{i}, h) = a_{1} k_{1} + a_{2} k_{2} + \dots + a_{n} k_{n}$ . Donde las constantes $k_{i}$ se definen como:

k_{1} = f (t_{i}, y_{i}) k_{2} = f (t_{i} + p_{1} h, y_{i} + q_{11} k_{1} h) k_{3} = f (t_{i} + p_{2} h, y_{i} + q_{21} k_{1} h + q_{22} k_{2} h) k_{4} = f (t_{i} + p_{n - 1} h, y_{i} + q_{n - 1, 1} k_{1} h + \dots + q_{n - 1, n - 1} k_{n - 1} h)

Donde $p_{i}, q_{ij}$ son constantes a determinar

Runge-Kutta de Orden 1

Para el orden $1$ , no es necesario encontrar ninguna constante. De esta forma,

φ (t_{i}, y_{i}, h) = a_{1} f (t_{i}, y_{i})

Por lo que si $a_{1} = 0$ , entonces tenemos el método de Euler.

Runge-Kutta de Orden 2

Para el orden $2$ . Se puede demostrar que las contantes respetan el sistema de ecuaciones

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} + a_{2} = 1 2 a_{2} p_{1} = 1 2 a_{2} q_{11} = 1

Si tomamos $a_{2} = 1$ , entonces tenemos el método de Runge-Kutta del punto medio:

RK2: ⎩ ⎨ ⎧ y_{i + 1} = y_{i} + k_{2} h k_{1} = f (t_{i}, y_{i}) k_{2} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{k _{1} h}{2})

Runge-Kutta del Orden 3

Para el orden $3$ , se generan seis ecuaciones con ocho incógnitas. La versión más común de este método es:

⎩ ⎨ ⎧ y_{i + 1} = y_{i} + \frac{h}{6} (k_{1} + 4 k_{2} + k_{3}) k_{1} = f (t_{i}, y_{i}) k_{2} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{k _{1} h}{2}) k_{3} = f (t_{i} + h, y_{i} - k_{1} h + 2 k_{2} h)

Runge-Kutta del Orden 4

Para el orden $3$ , se generan seis ecuaciones con ocho incógnitas. La versión más común de este método es:

⎩ ⎨ ⎧ y_{i + 1} = y_{i} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) k_{1} = f (t_{i}, y_{i}) k_{2} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{k _{1} h}{2}) k_{3} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{k _{2} h}{2}) k_{4} = f (t_{i} + h, y_{i} + k_{3} h)

Apuntes

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