Teorema Central del Límite

Las sumas de algunas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, tienen distribuciones conocidas

1. Si $X_1,\cdots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }\text{Ber}(p)⟹{\sum }^n{X}_i\sim B(n,p)$
2. Si $X_1,\cdots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }\text{G}(p)⟹{\sum }^n{X}_i\sim \text{Pas}(n,p)$
3. Si $X_1,\cdots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }\mathcal{E}(\lambda )⟹{\sum }^n{X}_i\sim \Gamma (n,\lambda )$

Pero si las graficamos, encontramos que los gráficos se parecen a la gráfica de una distribución normal.

Además, si estandarizamos la función como si fuese una normal estándar, encontramos que el gráfico de distribución se parece mucho más a la de una campana de Gauss.

Definición del Teorema

Sean $(X_n{)}_{n\ge 1}$ una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con esperanza y varianza finita, entonces (bajo ciertas condiciones generales) se cumple que

$$\frac{{\sum }^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }⟹Z\sim \mathcal{N}(0,1)$$

La suma de las variables aleatorias, estandarizada, tiende a una distribución normal estándar

La utilización de esta aproximación depende de la distribución original. La puedo usar siempre, entendiendo que estoy trabajando con una aproximación

Note

El teorema sirve para variables tanto discretas como mixtas