Distribución Normal

Una variable aleatoria $X$ tiene distribución normal si su función de densidad toma la siguiente forma

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Proponemos la variable aleatoria $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$, entonces demostramos que si $X$ tiene distribución normal, entonces $Z$ tiene distribución normal estándar.

De esta forma, podemos transformar cualquier variable aleatoria normal en una estándar, a partir de la siguiente expresión

$$F_X(x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$$

Propiedad Interesante

Sea $X$ una variable aleatoria normal, entonces si buscamos la probabilidad de que se aleje en un desvío de su media, podemos utilizar la transformación para encontrar una expresión simplificada

$$P(\mu -a\sigma <x<\mu +a\sigma )=2\Phi (a)-1$$

distribución Normal Multivariada

Se dice que un vector aleatorio $X$ tiene distribución normal multivariada de dimensión $p$, de parámetros $\mu \in {\mathbb{R}}^p$ y $\Sigma \in {\mathbb{R}}^{p\times p}$ (simétrica y definida positiva), entonces $X\sim \mathcal{N}(\mu ,\Sigma )$, si su función de densidad está dada por

$$f_X(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp [-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )]$$

El vector $\mu$ está conformado por todas las esperanzas de las variables aleatorias $X_i$, mientras que $\Sigma$ es la matriz de covarianzas de $X$.

Definición Alternativa

Se dice que $X$ es un vector aleatoria con distribución normal multivariada si y solo si, $\forall t\in {\mathbb{R}}^p$ se tiene que $t^{T}X$ es normal univariada, es decir, $t^{T}X\sim \mathcal{N}(t^T\mu ,t^{t}Zt)$. Además, $X_1,\cdots X_p$ son independientes si $\Sigma$ es una matriz diagonal

Propiedades

• Si $X\sim {\mathcal{N}}_p(0,\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_p)$ entonces $X_i,\cdots ,X_p$ son independientes y de distribución $X_i\sim \mathcal{N}(0,{\lambda }_i)$
• Si $X\sim {\mathcal{N}}_p(\mu ,\Sigma )$ y $A\in {\mathbb{R}}^{p\times p}$ no singular, entonces $Ax+b\sim {\mathcal{N}}_P(A\mu +b,A\Sigma A^t)$