Espacios Vectoriales

Definición

Un espacio vectorial consta de:

• Un conjunto $\mathbb{V}$ de objetos que llamaremos vectores
• Un conjunto $\mathbb{K}$ de escalares ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$, o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$)
• Una operación llamada suma definida entre elementos $u,v\in \mathbb{V}$, que cumple $u+v\in \mathbb{V}$
• Una operación llamada producto por escalar definida entre elementos $u\in \mathbb{V}$, $\lambda \in \mathbb{K}$, que cumple $\lambda u\in \mathbb{V}$

Axiomas

• La suma es conmutativa: $u+v=v+u$, para $u,v\in \mathbb{V}$
• La suma es asociativa: $u+(v+w)=(u+v)+w$, para $u,v,w\in \mathbb{V}$
• Existe el elemento nulo ${\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}$: $u+{\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}=u$, para $u\in \mathbb{V}$
• Existe el elemento simétrico $-u$ para todo $u\in \mathbb{V}$ tal que $u+(-u)={\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}$, para $u\in \mathbb{V}$

Propiedades

• El elemento neutro es único
• El elemento simétrico es único
• Si $\lambda u={\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}$, entonces $\lambda =0$ o $u={\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}$
• $0\cdot u={\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}$, (Elemento Neutro)
• $(-1)u=-u$ (Elemento Simétrico)
• $\lambda \cdot {\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}={\mathbb{O}}_{\mathbb{V}}\forall \lambda \in \mathbb{K}$