Mezcla de Variables Aleatorias

Diremos que $X$ es una variable aleatoria “mezcla” si es una mezcla de variables aleatorias, dados distintos eventos. Si $A_1,\cdots ,A_n$ es una partición de $\Omega$ y $X$ una variable aleatoria, de manera que conozco las distribuciones de $X|A_i$, entonces podemos aplicar la propiedad de probabilidad total.

$$F_X(x)=P(X\le x)=\sum _{i=1}^n{F}_{X|A_i}(x)P(A_i)$$

Si definimos una variable aleatoria que indique la partición de $\Omega$ en la que nos encontremos, entonces esta será la variable “mezcladora”. Es una variable aleatoria discreta, por lo tanto, conocemos las distribuciones de $X|M=m$.

$$F_X(x)=\sum _{i=1}^n{F}_{X|M=m}(x)P(M=m)$$

Esta misma expresión es válida para las funciones de distribución y de probabilidad, dependiendo del tipo de variable aleatoria.

Bayes para Mezclas

Sea $M$ una variable aleatoria discreta con soporte finito y $X$ una variable aleatoria continua, de manera que conozco la función de probabilidad de $M$ y la función de probabilidad de densidad de las variables aleatorias $X|M=m$. La función de probabilidad de $M$ dado que $X=x$ será

$$P_{M|X=x}(m)=\frac{f_{X|M=m}(x)P(M=m)}{\sum f_{X|M=i}(x)P(M=i)}$$