Error en Métodos Iterativos

Si existen constantes positivas $\alpha$ y $\lambda$ tal que se cumple la siguiente expresión, entonces podemos decir la convergencia del método es de orden $\alpha$ con constante asintótica $\alpha$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|p_{n+1}-p|}{{|p_n-p|}^{\alpha }}=\lambda$$

Punto Fijo

El método del punto fijo converge linealmente. Se cumple que

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|p_{n+1}-p|}{|p_n-p|}=|g^{\prime }(p)|$$

Newton-Raphson

Este método converge cuadráticamente únicamente cuando la raíz es simple, si la raíz es múltiple, debo realizar una modificación del método para obtener una convergencia cuadrática.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|p_{n+1}-p|}{|p_n-p{|}^2}=\frac{|g^{\prime \prime }(p)|}{2}$$

Además, para valores suficientemente grandes, se cumple la siguiente expresión, siendo $M$ la cota de $g^{\prime \prime }(x)$ en el intervalo abierto del teorema.

$$|p_{n+1}-p|<\frac{M}{2}|p_n-p{|}^2$$

Cuando $g^{\prime }(p)=0$, tendremos que los métodos convergen cuadráticamente, por lo que el método de newton consiste en multiplicar $f(x)$ por otra función $\varphi (x)$, tal que $x-\varphi (x)f(x)$ sea un punto máximo en $p$.

De esta forma, obtenemos el método de Newton-Raphson a partir del método de punto fijo. $\varphi (x)=1/f^{\prime }(x)$. Nótese que esto es solo válido si $f^{\prime }(p)\ne 0$