Probabilidad Condicional

Sea un espacio muestral y $A,B\in \mathcal{A}$ con $P(B)>0$, la probabilidad condicional de $A$ dado que $B$ ha ocurrido está definida por

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Propiedades

1. $0\le P(A|B)\le 1,\forall A\in \mathcal{A}$
2. $P(\Omega |B)=1$
3. Si $A\cap C=\varnothing$, entonces $P(A\cup C|B)=P(A|B)+P(C|B)$
4. Si $P(B)>0$, entonces
   1. $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A)$
   2. $P(A\cap B\cap C)=P(A|B\cap C)\cdot \underset{P(B\cap C)}{\underbrace{P(B|C)\cdot P(C)}}$

Particiones

Decimos que los eventos $B_1,B_2,\cdots ,B_k$ es una partición de $\Omega$ si

1. $B_i\cap B_j=\varnothing ,\forall i\ne j$
2. ${\cup }_{i=1}^k{B}_i=\Omega$

Es decir, divido todo $\Omega$ en $k$ conjuntos mutuamente excluyentes dos a dos.

Fórmula de Probabilidad Total

Sea el conjunto de eventos $B$ una partición de $\Omega$, entonces

$$P(A)=\sum _{i=1}^{k}P(A|B_i)P(B_i)$$

Teorema de Bayes

Sea el conjunto de eventos $B$ una partición de $\Omega$, y $A$ un evento de probabilidad positiva. Entonces

$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{k}P(A|B_j)P(B_j)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$$

Diagrama de Árbol

Un diagrama de árbol es una forma gráfica de mostrar los distintos resultados del experimento aleatorio. Cada ramificación del árbol contiene, a su vez, distintos eventos que pueden resultar de él.

Podemos ver que los elementos de nuestra álgebra de eventos son $A,B,C,D$. A su vez, $A,B$ es una partición de $\Omega$. Por lo que los eventos $C,D$ se pueden escribir en función de sus probabilidades respecto a $A,B$, a partir del teorema de Bayes.