Propiedades del P.P.

Adelgazamiento

Sea $N(t)$ un proceso de Poisson de intensidad $\lambda$, donde cada evento es del tipo $I,II$ con probabilidad independiente de cada evento $p,1-p$ respectivamente. Entonces podemos dividir el proceso de Poisson en dos Poissonsitos $N_I(t),N_{II}(t)$, con intensidad $\lambda p,\lambda (1-p)$ respectivamente. De esta forma, obtenemos

$$N(t)=N_I(t)+N_{II}(t)$$

Estos procesos de Poisson son independientes entre sí.

Superposición de Procesos de Poisson

Sean $N_I(t),N_{II}(t)$ dos procesos de Poisson independientes de tasas ${\lambda }_I,{\lambda }_{II}$ respectivamente, entonces podemos definir un proceso de Poisson general de intensidad $\lambda ={\lambda }_I+{\lambda }_{II}$ que tiene en cuenta las marcas de ambos procesos. Es el camino inverso al teorema de adelgazamiento

$$N(t):=N_I(t)+N_{II}(t)$$

Distribución Condicional de los Tiempos de Llegada

Como el proceso de Poisson es temporalmente homogéneo y tiene incrementos independientes, entonces cada intervalo de igual longitud tiene la misma probabilidad de contener un arribo, de esta forma. Encontramos que, sabiendo que ocurrió un evento en el intervalo $[0,t]$, la posición en el tiempo del evento tiene distribución uniforme en el intervalo $[0,t]$

Si sabemos qué ocurrieron exactamente $n$ eventos en el intervalo $[0,t]$, Entonces si definimos $S_i$ como el tiempo exacto en el que ocurrió el evento $i$. Entonces la variable aleatoria $S_i$ tiene distribución uniforme en el intervalo $[0,t]$

Para todo $s<t$, se cumple que $P(S_1<s|N(t)=1)=\frac{s}{t}$

Como cada evento puede, o no, pertenecer a un intervalo de tiempo, podemos usar la distribución binomial

$$[N(a,b)|N(t)=n]\sim \mathcal{B}(n,\frac{b-a}{t})$$

Esta variable aleatoria representa la cantidad de eventos ocurridos en el intervalo $(a,b)$, dado que ocurrieron $n$ eventos en el intervalo $(0,t)$

Si quiero encontrar la probabilidad de un número de eventos para cada intervalo, entonces podemos definir una multinomial

$$\left[\right(N(0,a),N(a,b),\cdots ,N(z,t)|N(t)=n]\sim \mathcal{M}(n,\frac{a}{t},\frac{b-a}{t},\cdots \frac{t-z}{t})$$