Superposición de Onda

Las ondas son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales, por lo que la suma algebraica de dos ondas sigue siendo una onda.

Ondas Estacionarias

Las ondas estacionarias se generan cuando se superponen dos ondas de igual velocidad y frecuencia. Pero distinto sentido

$$\begin{array}{c}{\xi }_1=A\cdot \sin (kx-\omega t)\\ {\xi }_2=A\cdot \sin (kx+\omega t)\end{array}$$ $${\xi }_{\text{tot}}=2A\cdot \sin (kx)\cdot \cos (\omega t)$$

El nodo es el punto donde la perturbación es nula. El vientre es el punto donde la perturbación puede ser máxima.

El modo de la onda $n$ determina la cantidad de vientres que tiene la onda. El primer modo se denomina onda estacionaria fundamental. Mientras que el segundo se denomina primer armónico.

Cuerdas

Ambos Extremos Fijos

Si los extremos de la cuerda de longitud $L$ son fijos, entonces las ondas estacionarias solo se dan en ciertas frecuencias.

Como ambos extremos están fijos, entonces la perturbación en los extremos es nula.

$$f_n=n\frac{v}{2L}$$ $${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

$n=1,2,3,...$

Un Extremo Fijo

Si solo uno de los extremos está fijo, entonces ese extremo es un nodo, y el otro extremo es un vientre.

$$f_n=(2n-1)\frac{v}{4L}$$

$n=1,2,3,...$

Tubos

Ambos Extremos Abiertos

En este caso, en los extremos la presión coincide con la presión atmosférica, por lo que son vientres. Debido a esto, el planteo es idéntico a la cuerda con extremos fijos.

Si se resuelve con ondas de desplazamiento, entonces en los extremos se encuentran los vientres. Para facilitar el cálculo, se usa $[\cos ]$

$${\xi }_{\text{tot}}=2A\cdot \cos (kx)\cdot \sin (\omega t)$$

El planteo coincide con el de la cuerda con extremos fijos.

$$f_n=n\frac{v}{2L}$$ $${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

$n=1,2,3,...$

Un Extremo Abierto

Si cierro un extremo, entonces uno de los extremos es un nodo, y el otro es un vientre. Se resuelve como una cuerda con un extremo fijo.

Si planteo las ondas de desplazamiento, entonces en el primer extremo se encuentra un vientre, y en el otro un nodo. Para facilitar el cálculo, se usa $[\cos ]$

El planteo coincide con el de la cuerda con un extremo fijo.

$$f_n=(2n-1)\frac{v}{4L}$$

$n=1,2,3,...$

Resonancia

Si la frecuencia de la onda es la misma que la frecuencia natural de la caja de resonancia, entonces la amplitud del sonido aumenta considerablemente

Batidos

Los batidos ocurren cuando dos ondas armónicas de igual amplitud, pero de frecuencias diferentes, se propagan en el mismo medio

$$\begin{array}{c}{\xi }_1=A\cdot \sin (kx-{\omega }_{1}t+{\phi }_1)\\ {\xi }_2=A\cdot \sin (kx+{\omega }_{2}t+{\phi }_2)\end{array}$$

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$$\begin{array}{rl}{\xi }_{\text{tot}}=2A& \cdot \stackrel{\text{Amplitud Modulada}}{\overbrace{\cos (\frac{\Delta k}{2}x-\frac{\Delta \omega }{2}t+\frac{\Delta \phi }{2})}}\\ & \cdot \cos (k_{p}x-w_{p}t+{\phi }_p)\end{array}$$

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$${\omega }_{\text{Onda Moduladora}}=\frac{w_2-w_1}{2}$$ $$f_{\text{Onda Moduladora}}=\frac{f_2-f_1}{2}$$ $$f_{\text{Pulso}}=|f_2-f_1|$$