Ley de Biot y Savalt

Por la experiencia, se encontró que los campos magnéticos son generados por cargas en movimiento (corrientes). Además, se encontraron las siguientes relaciones.

• $\vec{B}\perp I\cdot d\vec{l}$
• $\vec{B}\perp (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })$
• $\Vert \vec{B}\Vert \propto \frac{1}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^2}$

A partir de estas relaciones, se formalizó la ley del campo magnético para una carga puntual en movimiento.

$$\vec{B}=K_m\cdot \frac{q\cdot \vec{v}\times (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}$$ $$\begin{array}{c}\text{Constante Magnetica}:K_m=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\\ \text{Permmeabilidad Magnetica del Vacio}:{\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}N/A^2\end{array}$$

Si extendemos esta fórmula para una corriente en lugar de una carga puntual, llegamos a la Ley de Biot y Savalt para una corriente estacionaria.

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{I\cdot d{\vec{l}}^{\prime }\times (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}$$

Campo Magnético Generado por un Hilo

Si planteamos una integral recta, y resolvemos la ley del campo magnético, llegamos a la siguiente expresión

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{4\pi r}\cdot [\frac{z+\frac{L}{2}}{\sqrt{r^2+(z+\frac{L}{2}{)}^2}}-\frac{z-\frac{L}{2}}{\sqrt{r^2+(z-\frac{L}{2}{)}^2}}]\cdot \hat{\theta }$$

Si extendemos el hilo hacia el infinito, entonces llegamos a un campo más simple

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\pi r}\cdot \hat{\theta }$$

Distribución de Corriente

Así como teníamos densidades volumétricas de corriente, también tenemos densidades superficiales de corriente.

$$I=\int \vec{k}\cdot d\vec{l}=\iint \vec{j}\cdot d\vec{S}$$

De esta forma, podemos encontrar el campo magnético a partir de una densidad superficial de corriente, y una volumétrica.

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\iint \frac{\vec{k}\cdot dS\times (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}$$ $$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\iiint \frac{\vec{j}\cdot dV\times (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}$$

Note

En estos casos, el carácter vectorial lo tiene la distribución de corriente, en lugar del diferencial.