Intervalos de Confianza

A partir de una muestra nunca vamos a poder encontrar nuestro parámetro $\mu$. Por lo que vamos a intentar encontrar un intervalo $\mu \in [A,B]$ tal que la probabilidad de que el parámetro pertenezca a ese intervalo sea de $1-\alpha$. Donde $1-\alpha$ es el nivel de confianza, siendo $\alpha$ el nivel de riesgo

Método del Pivote

Un pivote $U$ es una variable aleatoria que es función de la muestra aleatoria y del parámetro a encontrar, pero que su distribución no depende de ningún parámetro desconocido

$$P(a\le U\le b)=1-\alpha$$

Debido a que tenemos la distribución de $U$, podemos encontrar $a,b$ fácilmente tras calcular sus cuantiles. Nótese que debemos hallar el intervalo más corto posible que acumule esa probabilidad (hay infinitos)

Una vez hallado $a,b$, despejamos el parámetro desconocido y hallamos su intervalo de confianza.

Para encontrar nuestro pivote $U$, partiremos del estimador de máxima verosimilitud. Si no funciona, podemos modificarlo hasta encontrar el pivote adecuado.

Intervalos de Confianza de Nivel Asintótico

Sea $X_1,\cdots ,X_n$ una muestra aleatoria de una población con distribución $F_{\theta }(x),\theta \in \Theta$, se dice que $S_n(\underline{X})$ es una sucesión de regiones de confianza para $\theta$ de nivel asintótico $1-\alpha$ si

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(\theta \in S_n(\underline{X}))=1-\alpha ,\theta \in \Theta$$

Relación entre Regiones de Confianza y Test

Sea $X$ una variable aleatoria con distribución $F_{\theta }(x),\theta \in \Theta$, y que para cada ${\theta }_0$ se tiene un test de nivel $\alpha$ para $H_0:\theta ={\theta }_0\text{ vs. }{H}_1:\theta \ne {\theta }_0$

Se puede definir una región de confianza de nivel $1-\alpha$ para $\theta$ como

$$S(\underline{X})=\{\theta :\delta (\underline{X})=0\}$$