Autovalores y Autovectores

Vamos a buscar los vectores $v$ de $\mathbb{V}$ tal que $T(v)=\lambda v$. Es decir, las rectas que pasadas por la transformación lineal, llegan a la misma recta.

Sea $A$ una matriz de ${\mathbb{K}}^{n\times n}$, y $x_0\in {\mathbb{K}}^n$. Entonces podemos encontrar sucesiones de la forma:

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =x_0\\ x_1& =A{x}_0\\ x_2& =A{x}_1=A^2{x}_0\\ ⋮& =⋮\\ x_n& =A{x}_{n-1}=A^n{x}_0\end{array}$$

Las matrices más fáciles de potenciar son las matrices diagonales.

$$D=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$ $$D^k=\text{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$$

Otras matrices fáciles de potenciar son aquellas que puedan ser factorizadas de la siguiente forma, siendo $D$ una matriz diagonal.

$$A=QD{Q}^{-1}$$ $$A^n=Q{D}^n{Q}^{-1}$$

Definición

Sea $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$, un autovalor de $A$ es un escalar $\lambda \in \mathbb{K}$ tal que existe $v\in {\mathbb{K}}^n$ no nulo tal que $Av=\lambda v$. Se dice que $v$ es autovector de $A$.

Para encontrar estos elementos, primero buscamos $\lambda$ tal que $\text{det}(\lambda I-A)=0$. Los autovectores asociados a cada $\lambda$ son $v\in \text{null}(\lambda I-A)$.

Definimos el polinomio característico de $A$ de grado $n$, $P_A(\lambda )=\text{det}(\lambda I-A)$.

Se le denomina multiplicidad algebraica de ${\lambda }_0$ a la multiplicidad de ${\lambda }_0$ como raíz del polinomio característico.

Se le denomina multiplicidad geométrica de ${\lambda }_0$ a la dimensión de él autoespacio asociado.

Diagonalización

Se cumple entonces que $A=QD{Q}^{-1}$, si cada columna de $Q$ es un autovector $A$ asociado al autovalor $\lambda$, correspondiente en la matriz diagonal $D$. Además, podemos encontrar un subespacio de los autovectores de $A$ asociados a ${\lambda }_0$. Este autoespacio se denomina $S_{\lambda ={\lambda }_0}$

Como existen infinitos autovectores para un mismo autovalor, entonces esa factorización no es única.

Encontramos que una matriz $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ puede ser factorizada como una matriz diagonal, si existen $n$ autovalores $\lambda$ distintos en $\mathbb{K}$. Si los autovalores se repiten, entonces basta con encontrar $n$ autovectores linealmente independientes, asociados a los autovalores encontrados. Es decir, se debe cumplir para cada autovalor que su multiplicidad algebraica sea igual a su multiplicidad geométrica.

Propiedades

• $\text{det}(A)={\prod }_{i=0}^n{\lambda }_i$. (Se consideran los autovalores con repetición)
• $\text{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$. (Se consideran los autovalores con repetición)
• Si $\lambda$ es autovalor de $A$ asociado al autovector $v$:
  • $({\lambda }^k+t)$ es autovalor de $(A^k+tI)$ asociado al autovector $v$
  • Si $A$ es invertible, entonces $\frac{1}{\lambda }$ es autovalor de $A^{-}1$ asociado al autovector $v$
• Si $\lambda$ es autovalor de $A$, entonces es autovalor de $A^T$
• La multiplicidad algebraica es siempre mayor o igual que la multiplicidad geométrica.

Semejanza

Sean $A,B$ dos matrices de las mismas dimensiones, se dice que $A$ es semejante a $B$ $(A\sim B)$ Si existe $Q$ tal que $A=QB{Q}^{-1}$

• Es reflexiva: $A\sim A$

• Es simétrica: Si $A\sim B$, entonces $B\sim A$

• Es transitiva: Si $A\sim B$ y $B\sim C$, entonces $A\sim C$

• Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial de dimensión $n$. $B$ y $B^{\prime }$ siendo bases de $\mathbb{V}$. Entonces podemos escribir una transformación lineal respecto a ambas bases

  $$[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}=M_B^{B^{\prime }}\cdot [T{]}_B^B\cdot (M_B^{B^{\prime }}{)}^{-1}$$

  Podemos concluir que toda la representación de una transformación lineal con respecto a una misma base son semejantes entre sí.

• Si $A\sim B$, entonces $A,B$ tienen los mismos autovalores, con la misma multiplicidad tanto algebraica como geométrica.

  $$A=PJ{P}^{-1}B=RJ{R}^{-1}$$ $$A=\underset{Q}{\underbrace{P{R}^{-1}}}B\underset{Q^{-1}}{\underbrace{P^{-1}R}}$$

Invariantes

Un subespacio $S\subseteq {\mathbb{K}}^n$ es un subespacio invariante de $A$ $(A\text{-invariante})$ si para todo vector $v\in S$, $Av\in S$.

Sabemos que todo autoespacio de $A$ es un subespacio $A\text{-invariante}$. Pero el recíproco no es cierto, hay subespacios invariantes de $A$ que no son autoespacios del mismo.

Un subespacio $S\subseteq \mathbb{V}$ es un subespacio invariante de $T:\mathbb{V}\to \mathbb{V}$ o $(T\text{-invariante})$ si para todo vector $v\in S$, se cumple que $T(v)\in S$

El núcleo y la imagen de una transformación lineal es un subespacio $T\text{-invariante}$.

Transformación Lineal

Dados $\mathbb{V}-\mathbb{K}$ un espacio vectorial y $T:\mathbb{V}\to \mathbb{V}$ una transformación lineal. Un autovalor de $T$ es un escalar $\lambda \in \mathbb{K}$ tal que existe $v\in {\mathbb{K}}^n$ no nulo que cumple $T(v)=\lambda v$

Se dice que $v$ es autovector de $T$ asociado a $\lambda$.

Llamamos autoespacio de $T$ asociado a $\lambda$ al subespacio $S_{\lambda }=\{v\in \mathbb{V},T(v)=\lambda v\}$

Esta definición no tiene ninguna novedad, ya que se extiende de la definición original de autovalores y autovectores. Siempre podemos pensar una transformación lineal como un producto matricial entre la matriz asociada y el elemento a transformar.

Se le llama polinomio característico de $T$ a $P_T(\lambda )=\text{det}(\lambda I-[T{]}_B^B)$, donde $B$ es cualquier base de $\mathbb{V}$.

Propiedades

• Si $T$ es una transformación lineal no inyectiva (tiene nulo), $\lambda =0$ es autovalor de $T$, siendo su autoespacio asociado el subespacio $Nu(T)$
• Sea $(D-\lambda I):{\mathbb{C}}^{\infty }\to {\mathbb{C}}^{\infty }$. Sabemos que $Nu(D-\lambda I)=gen\{e^{\lambda x}\}$. Entonces, aplicando la propiedad anterior, $\lambda =0$ es autovalor de ese operador, y él autoespacio asociado es $S=gen\{e^{\lambda x}\}$
• Sea $D:{\mathbb{C}}^{\infty }\to {\mathbb{C}}^{\infty }$, sabemos que $\lambda \in \mathbb{R}$ es autovalor de $D$, y para cada $\lambda$, su autoespacio asociado es $S=gen\{e^{\lambda x}\}$
• Si existe una base de $\mathbb{V}$ formada por autovectores de $T$, entonces $T$ es diagonalizable. La matriz $[T{]}_B^B$ será una matriz diagonal. (propiedad de semejanza)

Matrices de Jordan

Si una matriz $A\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$ no es diagonalizable, podemos encontrar matrices de Jordan similares a una matriz diagonal, tal que $A\sim J_i$.

Llamamos $V_1,V_2,V_3$ las columnas de $Q$

Caso 1: Algebraica 2, Geométrica 1

Si $A$ tiene un autovalor de multiplicidad algebraica $2$ y multiplicidad geométrica $1$. Llamamos ${\lambda }_1$ al autovalor de multiplicidad algebraica $2$, y ${\lambda }_2$ al autovalor de multiplicidad algebraica $1$.

$$A_1=Q\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 1& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]Q^{-1}$$

Siendo:

• $V_1,V_3$ los autovectores asociados a ${\lambda }_1,{\lambda }_2$.
• $V_2$ el vector que cumple con el sistema $:(A-{\lambda }_{1}I)V_2=V_1$

Caso 2: Algebraica 3, Geométrica 1

Si $A$ tiene un autovalor de multiplicidad algebraica $3$ y multiplicidad geométrica $1$. Llamamos $\lambda$ al único autovalor

$$A_2=Q\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]Q^{-1}$$

Siendo:

• $V_1$ el autovector asociado a $\lambda$
• $V_2$ el vector que cumple con el sistema $:(A-\lambda I)V_2=V_1$
• $V_3$ el vector que cumple con el sistema $:(A-\lambda I)V_3=V_2$

En este caso, debemos elegir el $V_2$ que pertenezca a la imagen de $A-\lambda I$

Caso 3: Algebraica 3, Geométrica 2

Si $A$ tiene un autovalor de multiplicidad algebraica $3$ y multiplicidad geométrica $2$. Llamamos $\lambda$ al único autovalor

$$A_3=Q\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]Q^{-1}$$

Siendo:

• $V_1$ un autovector asociado a $\lambda$
• $V_2$ otro autovector asociado a $\lambda$
• $V_3$ el vector que cumple con el sistema $:(A-\lambda I)V_3=V_2$

En este caso, debemos elegir el $V_2$ que pertenezca a la imagen de $A-\lambda I$