Trazador Cúbico - Spline

Fenómeno de Runge: Un mayor número de nodos no garantiza una mejor interpolación.

El trazador cúbico es una función partida que cumple las siguientes condiciones, para el conjunto de $x_0,\dots ,x_n$ nodos.

1. Debe interpolar todos los nodos.

   $$S(x_j)=f(x_j),j=0\dots n$$

2. La función debe ser continua.

   $$S_j(x_{j+1})=S_{j+1}(x_{j+1}),j=0\dots n-2$$

3. La derivada debe ser una función continua.

   $$S_j^{\prime }(x_{j+1})=S_{j+1}^{\prime }(x_{j+1}),j=0\dots n-2$$

4. La derivada segunda también debe ser una función continua.

   $$S_j^{\prime \prime }(x_{j+1})=S_{j+1}^{\prime \prime }(x_{j+1}),j=0\dots n-2$$

5. Dependiendo de si es una Spline libre (natural) o ligada, se debe cumplir que:

   1. Libre: $S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)$
   2. Ligada: $S^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)S^{\prime }(x_n)=f^{\prime }(x_n)$

Para que se cumpla esto, la Spline tendrá la siguiente estructura

$$S(x)=\{\begin{array}{l}{S}_0(x)=a_0+b_0(x-x_0)+c_0(x-x_0{)}^2+d_0(x-x_0{)}^3\\ \text{Si}:x\in [x_0,x_1]\\ \\ S_1(x)=a_1+b_1(x-x_1)+c_1(x-x_1{)}^2+d_1(x-x_1{)}^3\\ \text{Si}:x\in [x_1,x_2]\\ \\ ⋮\\ \\ S_{n-1}(x)=a_{n-1}+b_{n-1}(x-x_{n-1})+c_{n-1}(x-x_{n-1}{)}^2+d_{n-1}(x-x_{n-1}{)}^3\\ \text{Si}:x\in [x_{n-1},x_n]\end{array}$$

Para encontrar las $4n$ constantes, entonces debo plantear las condiciones y resolver el sistema lineal. El sistema es cerrado.

Forma Matricial

Si resolvemos el sistema en forma genérica, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones cerrado

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \cdots & \cdots & 0\\ h_0& 2(h_0+h_1)& h_1& 0& \cdots & 0\\ 0& h_1& 2(h_1+h_2)& h_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & h_{n-2}& 2(h_{n-2}+h_{n-1})& h_{n-1}\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ ⋮\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{3}{h_1}(a_2-a_1)-\frac{3}{h_0}(a_1-a_0)\\ ⋮\\ \frac{3}{h_{n-1}}(a_n-a_{n-1})-\frac{3}{h_{n-2}}(a_{n-1}-a_{n-2})\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

Una vez hallados los $c_j$, debemos encontrar $b_j$ y $d_j$ a partir de las siguientes ecuaciones.

$$b_j=\frac{1}{h_j}(a_{j+1}-a_j)-\frac{h_j}{3}(2c_j+c_{j+1})$$ $$d_j=\frac{c_{j+1}-c_j}{3h_j}$$