Varianza Condicional

Sean $X$ e $Y$ variables aleatorias con $\text{var}(Y)$ finita, la varianza de $Y|X=x$ será

$$\text{var}(Y|X=x)=E[(Y-E(Y|X=x{)}^2|X=x]$$

Llamaremos $\tau (x)=\text{var}(Y|X=x],\tau :\text{sop}(X)\to R$. Así llamaremos varianza condicional de $Y$ dado $X$ a la variable aleatoria

$$\tau (X)=var(Y|X)=E[(Y-E[Y|X]{)}^2|X]$$

Si desarrollamos la expresión, encontramos que

$$\text{var}(Y|X)=E[Y^2|X]-E[Y|X{]}^2$$

Propiedad de Pitágoras

Proviene de aplicar el teorema de Pitágoras

$$\text{var}(Y)=E[\text{var}(Y|X)]+\text{var}(E[Y|X])$$