Trabajo de Campos

$$W_{\vec{F}}^{AB}={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{l}=q_0{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$$

Si usando una fuerza externa ${\vec{F}}_e$ desplazo la partícula de $A$ a $B$ como un movimiento cuasi estacionario, entonces la velocidad es constante a lo largo del trayecto y la sumatoria de fuerzas es, por lo tanto, nula.

Entonces podemos definir le trabajo de este fuerza externa como inverso al trabajo del campo eléctrico.

$$\boxed{W_{F_{\text{ext}}}=-q_0{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}}$$

Además, como el rotor del campo eléctrico es nulo, entonces el campo es conservativo. Por lo que no depende de la trayectoria, y el trabajo vale es nulo para toda curva cerrada.

$$\text{Forma Integral}:\Delta V^{AB}=V_B-V_A=-{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$$ $$\text{Forma Diferencial}⟹E=-\nabla V$$

Conjunto Equipotencial: Conjunto de puntos que tienen exactamente el mismo potencial. Desplazarte por un conjunto equipotencial no cuesta trabajo.

Carga Puntual

En el caso de una carga puntual, solo calculamos la integral de ese campo de $A$ a $B$

$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{\hat{r}}{r^2}$$ $$\Delta V^{AB}=-{\int }_A^B\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}$$ $$\Delta V^{AB}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a})$$ $$W_{F_{\text{ext}}}=q_0\cdot \Delta V^{AB}$$

Note

Como el campo solo tiene componente radial, solo nos importa esa componente entre $A$ y $B$, las otras componentes se cancelan

N.º Cargas

Al ser distribuible la integral, podemos simplemente sumar las diferencias del potencial.

$$\Delta V^{AB}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \sum _i^n{q}_i\cdot [\frac{1}{|{\vec{r}}_B-{\vec{r}}_i|}-\frac{1}{|{\vec{r}}_A-{\vec{r}}_i|}]$$ $$W_{F_{\text{ext}}}=q_0\cdot \Delta V^{AB}$$

Distribución Continua

Podemos simplemente remplazar la suma por una integral, con su diferencial de carga.

$$\Delta V^{AB}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \int d{q}^{\prime }\cdot [\frac{1}{|{\vec{r}}_B-{\vec{r}}^{\prime }|}-\frac{1}{|{\vec{r}}_A-{\vec{r}}^{\prime }|}]$$

Nótese que la distribución debe ser acotada, porque la integral es indefinida cerca del infinito.

Para distribuciones no acotadas, podemos remitirnos a la definición integral

$$W_{F_{ext}}=-q_0{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$$