Variables Enteras

Introduciremos al modelado, dos nuevos tipos de variables:

• Variables discretas: Utilizadas para representar productos o recursos de valor entero (no divisibles)
• Variables bivalentes: También conocidas como variables binarias:
  • De decisión: Señalan alternativas posibles, el modelo erigirá un valor para determinar cierto comportamiento
  • Indicativas: Marcan el estado de una variable asociada

Usualmente, se acostumbra a notar las variables bivalentes con $Y_{\alpha }$

Relaciones Lógicas

Podemos simular relaciones lógicas a partir de variables bivalentes, utilizando algunas técnicas comunes

Definamos una proposición $r$ tal que $p+q=r$. Podemos representar esto en programación lineal de la siguiente forma:

$$Y_r\le Y_p+Y_q\le 2Y_r$$

En el caso genérico tendremos que si $p_1+p_2+\cdots +p_n=q$. Entonces:

$$Y_q\le Y_{p_1}+Y_{p_2}+\cdots +Y_{p_n}\le n{Y}_q$$

También, podemos simular una compuerta lógica AND para la variable $r$ tal que $pq=r$ de la siguiente forma:

$$2Y_r\le Y_p+Y_q\le 1+Y_r$$

En el caso genérico, tendremos que si $q=p_1{p}_2\cdots p_n=q$. Entonces:

$$n{Y}_q\le Y_{p_1}+Y_{p_2}+\cdots +Y_{p_n}\le n-1+Y_q$$

Variables Indicativas

Definamos una variable $Y$ tal que $Y=1⟺X>0$. Entonces podemos definir

$$mY\le X\le MY$$

Para que dos variables no puedan tomar simultáneamente el valor uno $(Y_1{Y}_2=0)$, podremos definir la siguiente restricción:

$$Y_1+Y_2\le 1$$

A partir de esto, podremos definir programación de metas para casos donde el funcional no es de ayuda.

$$X-\lim =\text{Exceso}-\text{Defecto}$$ $$m{Y}_D\le \text{Defecto}\le M{Y}_D$$ $$m{Y}_E\le \text{Exceso}\le M{Y}_E$$ $$Y_D+Y_E\le 1$$

También podremos utilizar esta técnica para definir si dos variables $X_1,X_2$ son iguales

$$X_1-X_2=\text{Exceso}-\text{Defecto}$$ $$m{Y}_D\le \text{Defecto}\le M{Y}_D$$ $$m{Y}_E\le \text{Exceso}\le M{Y}_E$$ $$Y_D+Y_E+Y_{=}=1$$

Entonces, $Y_{=}$ tomará el valor uno únicamente si son iguales.

Similarmente, podemos forzar ambas variables a ser iguales (o distintas) utilizando

$$Y_D+Y_E=0$$ $$Y_D+Y_E=1$$

Para indicar si una variable se encuentra en el rango $[0,a]$, podemos declarar:

$$aY\le X\le a+MY$$

Eliminación de Restricciones

Podemos declarar restricciones que únicamente serán válidas bajo cierta condición $Y=0$.

$$g_1(X)\le b_2+M{Y}_1$$ $$\cdots$$ $$g_n(X)\ge b_n-M{Y}_n$$

Luego, podemos restringir a que únicamente una de las restricciones pueda estar habilitada a la vez.

$$Y_1+\cdots +Y_n=n-1$$

Costo Diferencial Por Intervalo

Tendremos una variable $X$, la cual queremos separar en $n$ intervalos, entonces debemos plantear ecuaciones para determinar cuando se encuentra en cada uno de los intervalos.

$$M_{n-1}{Y}_n\le X_n\le M_{n}Yn$$

Si $Y_n=0$, forzará a $X_n$ a valer cero. En caso contrario, $X$ pertenecerá al intervalo $(M_{n-1},M_n)$, con $X_n=X$.

$$Y_1+\cdots +Y_n=1$$ $$X_1+\cdots +X_n=X$$

Función Cóncava Seccionalmente Lineal

En esta situación, crearemos una estructura del tipo represa tal que cuando se llena el primer dique, se habilita el segundo. De esa forma, si $X$ pertenece al intervalo $(M_{i-1},M_i)$. Entonces todos los $X_j$ previos a $X_i$ estarán completos. Con el valor de $X_i$ relativo a los otros diques.

De esta forma, declararemos la variable $Y_i$ que valdrá uno únicamente si el intervalo apropiado está completo.

$$M_1{Y}_2\le X_1\le M_1$$ $$(M_2-M_1)Y_3\le X_2\le (M_2-M_1)Y_2$$ $$(M_3-M_2-M_1)Y_4\le X_3\le (M_3-M_2-M_1)Y_3$$ $$\cdots$$ $$X_n\le M{Y}_n$$ $$X_1+\cdots +X_n=X$$

Función de $n$ valores posibles

Puedo definir una bivalente para cada valor posible de $X$. Únicamente válido si $X$ tiene un número finito de valores posibles

$$X=a{Y}_a+b{Y}_b+c{Y}_c$$ $$Y_a+Y_b+Y_c=1$$

Redondeo

Si queremos redondear una variable continua X, a una variable entera $E$ tendremos tres posibilidades.

• Round: Al entero más cercano

  $$X-0.5+m\le E\le X+0.5$$

• Floor: Al entero menor más cercano

  $$X-1+m\le E\le X$$

• Ceiling: Al entero mayor más cercano

  $$X+1-m\le E\le X$$