Fasores Complejos

Circuitos Compuestos

Cuando tenemos circuitos con más de un componente, vamos a tener que realizar operaciones entre cosenos para hallar una expresión para la corriente del circuito.

Vamos a querer hallar los valores instantáneos del circuito: $i(t),v_q(t)$.

$$v_q(t)=i(t)R+\frac{1}{C}\int i(t)dt+L\cdot \frac{di(t)}{dt}$$ $$i(t)=I_0\cdot \cos (wt+{\varphi }_v+{\varphi }_{iv})$$

Como la expresión es una ecuación integro-diferencial, vamos a utilizar el campo complejo para resolverlo. $j=\sqrt{-1}$

$${\tilde{V}}_q(t)=V_0\cdot e^{j\cdot (wt+{\varphi }_v)}$$ $$\tilde{I}(t)=I_0\cdot e^{j\cdot (wt+{\varphi }_v+{\varphi }_{iv})}$$

Podemos transformar el fasor de voltaje en su parte trigonométrica, y relacionarlo el voltaje de la fuente. (podemos hacer lo mismo con el fasor de la corriente)

$${\tilde{V}}_q(t)=V_0\cdot [\cos (wt+{\varphi }_v)+j\sin (wt+{\varphi }_v)]$$ $$\mathbb{R}e({\tilde{V}}_q(t))=v_q(t)$$ $${\tilde{I}}_q(t)=I_0\cdot [\cos (wt+{\varphi }_i)+j\sin (wt+{\varphi }_i)]$$ $$\mathbb{R}e(\tilde{I}(t))=i(t)$$

También, podemos integrar y derivar el fasor de la corriente.

$$\int \tilde{I}(t)dt=\frac{-j\tilde{I}(t)}{w}$$ $$\frac{d\tilde{I}(t)}{dt}=\tilde{I}(t)\cdot jw$$

Una vez hecho esto, podemos transformar nuestra ecuación integro-diferencial en una ecuación algebraica.

$${\tilde{V}}_q(t)=\tilde{I}(t)\cdot \underset{\text{ Z: Impedancia del Circuito}}{\underbrace{[R+j(X_L-X_C)]}}$$ $${\tilde{V}}_q(t)=\tilde{I}(t)\cdot \mathbb{Z}$$

Pseudo - Ley de Ohm

Si desarrollamos los fasores, llegamos a la Pseudo-Ley de Ohm

$$V_0{e}^{j{\varphi }_v}=I_0{e}^{j{\varphi }_i}\cdot \mathbb{Z}$$ $$\boxed{\mathbb{V}=\mathbb{I}\cdot \mathbb{Z}}$$

Reescribimos la impedancia del circuito como un número complejo, así obtenemos una relación entre las amplitudes y las faces del circuito.

$$|z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$ $$\tan ({\varphi }_z)=\frac{X_L-X_C}{R}$$ $$\text{Amplitud}:V_0=I_0\cdot |z|$$ $$\text{Fase}:{\varphi }_{iv}=-{\varphi }_z$$ $$\text{Impedancias}:X_L=wL{X}_c=\frac{1}{wC}$$

También podemos definir las amplitudes en su forma eficaz, este determina el valor cuadrático medio de las funciones $v_q(t)$, $i(t)$. Esto es útil, ya que cuando medimos el voltaje y la corriente con un instrumento, obtendremos los valores eficaces.

$$V_{ef}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$$ $$I_{ef}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Note

En Argentina, la red domiciliaria tiene un voltaje efectivo de $220V$, y una frecuencia de $50Hz$.

La amplitud pico es aproximadamente $311V$.

Impedancia Inductiva

Podemos separar la impedancia inductiva en los distintos componentes

$$\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}_r+{\mathbb{Z}}_i+{\mathbb{Z}}_c⟹\{\begin{array}{l}{\mathbb{Z}}_r=R\\ {\mathbb{Z}}_i=j{X}_L\\ {\mathbb{Z}}_c=-j{X}_c\end{array}$$

De esta forma, podemos aplicar estas definiciones a cualquier circuito alterno, conectado en serie.

Note

Si $X_L>X_C$, ${\varphi }_{iv}<0$ el circuito tiene un comportamiento inductivo. En el caso contrario, el comportamiento es capacitivo. Si las reactancias son iguales, tiene un comportamiento resistivo.

Diagramas

Diagrama de Impedancias

El diagrama de impedancias grafica las tres impedancias: ${\mathbb{Z}}_r$, ${\mathbb{Z}}_i$, ${\mathbb{Z}}_c$. Dependiendo de hacia donde apunta la impedancia total, determina el tipo de circuito que se trata. Circuito inductivo si la impedancia inductiva está por encima de la impedancia resistiva.

Diagrama Fasorial

El diagrama fasorial es un diagrama que representa los fasores en un determinado tiempo $t$. Los fasores que se graficaran serán: ${\mathbb{V}}_R(t)$, ${\mathbb{V}}_L(t)$, ${\mathbb{V}}_C(t)$, $\mathbb{I}(t)$.

Luego podemos sumar los fasores asociados a la caída de potencial $\tilde{V}$, si su ángulo es mayor al de la corriente, significa que están adelantados a la corriente (la corriente se atrasa), por lo que es un circuito inductivo.