Interferencia

Ocurre cuando tomas dos ondas armónicas de la misma frecuencia, misma longitud, pero con diferente fase. Cada onda recorre caminos distintos $x_1,x_2$.

Estas ondas se denominan coherentes porque su diferencia de fase es constante en el tiempo. Si no trabajamos con fuentes coherentes, entonces el factor de interferencia se anula.

$${\xi }_1(x,t)=A_1\sin (k{x}_1-wt+{\phi }_1)$$ $${\xi }_2(x,t)=A_2\sin (k{x}_2-wt+{\phi }_2)$$

Si asumimos que ambas ondas tienen la misma amplitud, llegamos a la ecuación de onda de interferencia.

$$\boxed{\xi (x,t)=2A\cdot \cos [k{x}_p-wt+{\phi }_p]\cdot \cos [\frac{k\cdot \Delta x}{2}+\frac{\Delta \phi }{2}]}$$

Interferencia Constructiva: Ocurre cuando las dos ondas se complementan y la amplitud de la onda resultante es máxima

Interferencia Destructiva: Ocurre cuando las dos ondas se anulan y la amplitud de la onda resultante es nula.

Experiencia de Young

Las fuentes $S_1,S_2$ son puntuales y monocromáticas. Al provenir de la misma fuente, asumimos que $\Delta \phi =0$

$$\Delta x=\Delta r=d\sin \theta$$ $$\delta =k\cdot \Delta x+\Delta \phi$$ $$\theta \ll \sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{D}$$

Interferencia Constructiva

$$\cos (\delta /2)=1$$ $$\frac{2\pi \cdot d\cdot \sin \theta }{2\lambda }=n\cdot \pi$$ $$\sin \theta =n\cdot \frac{\lambda }{d}$$ $$\boxed{y_{max}=n\cdot \frac{\lambda \cdot D}{d}}$$

$n=\pm 0,1,2,\cdots$

Interferencia Destructiva

$$\cos (\delta /2)=0$$ $$\frac{2\pi \cdot d\cdot \sin \theta }{2\lambda }=(2n+1)\cdot \frac{\pi }{2}$$ $$\sin \theta =\frac{(2n+1)}{2}\cdot \frac{\lambda }{d}$$ $$\boxed{y_{min}=\frac{2n-1}{2}\cdot \frac{\lambda \cdot D}{d}}$$

$n=\pm 1,2,3\cdots$

Diagrama Fasorial

Le asignamos a cada onda un fasor, y calculamos la suma de las ondas para llegar a la onda resultante.

$$\begin{array}{c}{\xi }_0={\xi }_{01}+{\xi }_{02}\\ A^2=(A_1+A_2{)}^2\end{array}$$

La intensidad de una onda es proporcional a su amplitud al cuadrado. $I\propto A^2$

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1\cdot I_2}\cdot \cos \delta$$

Suponemos que ambas ondas tienen la misma amplitud

$$I=2I_0\cdot (1+\cos \delta )$$

Si aplicamos las siguientes identidades trigonométricas

$$\begin{array}{rl}& \cos \beta =\cos (\frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2})={\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)\\ & {\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)=1-co{s}^2\left(\frac{\delta }{2}\right)\end{array}$$

Llegamos a las siguientes expresiones

$$\boxed{I=4I_0\cdot {\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)}$$ $$⟨I⟩=2I_0$$

Interferencia en $N$ rendijas

Por el método fasorial, podemos deducir que los puntos de interferencia críticos.

A medida que aumenta $N$, el ancho angular del pico principal disminuye y los máximos secundarios se vuelve cada vez más chicos. La cantidad de máximos relativos que hay entre los máximos principales es de $[N-2]$

Máximos Principales

Los máximos principales se encuentran cuando no hay variación de ángulo entre los fasores $:\cos (\delta /2)=1$

$$\delta =n\cdot 2\pi$$ $$\boxed{y_{max}=n\cdot \frac{\lambda \cdot D}{d}}$$

Mínimos

En este tipo de interferencia, la cantidad de ceros en un intervalo de $2\pi$ es de $[N-1]$.

$n$ no es múltiplo de $N$

$$\delta =2\pi \cdot \frac{n}{N}$$ $$\boxed{y_{min}=\frac{n}{N}\cdot \frac{\lambda \cdot D}{d}}$$

Amplitud

La amplitud inicial de la onda resultante por la suma de las $N$ ondas está dada por la siguiente fórmula:

$$A=A_0\frac{\sin \left(\frac{N\cdot k\cdot \Delta x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{k\cdot \Delta x}{2}\right)}$$

Intensidad

La intensidad de cada punto, para la interferencia de $N$ rendijas, está dada por la siguiente fórmula:

$$I=I_0\frac{{\sin }^2\left(\frac{N\cdot k\cdot \Delta x}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{k\cdot \Delta x}{2}\right)}$$