Matrices Normales

Clasificación de Matrices

Primero, algunas definiciones sobre matrices:

• Matrices Simétricas $\to A^t=A$
• Matrices Ortogonales $\to A{A}^t=A^{T}A=I$
• Matrices Anti Simétricas $\to A^t=-A$

Para matrices complejas, tenemos que:

• Matrices Herméticas $\to A^{\ast }=A$, donde $A^{\ast }$ representa la matriz adjunta (transpuesta y conjugada)
• Matrices Unitarias $\to A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=I$
• Matrices Anti Herméticas $\to A^{\ast }=-A$

Matrices Normales

Todas las matrices mencionadas anteriormente pertenecen a un mismo conjunto, el conjunto de las matrices normales. Verifican que $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$.

Propiedades: $A,A^{\ast }$.

Las siguientes propiedades marcan relaciones entre una matriz y su adjunta:

1. $⟨x,Ay⟩=(Ay{)}^{\ast }x=y^{\ast }{A}^{\ast }x=⟨A^{\ast }x,y⟩$
2. $\text{Null}(A^{\ast })={\text{Col}}^{\perp }(A)$. Podemos demostrarlo por doble inclusión, y la propiedad $(1)$
3. ${\text{Null}}^{\perp }(A^{\ast })=\text{Col}(A)$. Se obtiene de $(2)$, Considerando ${\text{Col}}^{{\perp }^{\perp }}(A)=\text{Col}(A)$
4. $\text{Null}(A)={\text{Col}}^{\perp }(A^{\ast })$. Se obtiene de $(2)$, Intercambiando $A,A^{\ast }$
5. ${\text{Null}}^{\perp }(A)=\text{Col}(A^{\ast })$. Se obtiene de $(3)$, Intercambiando $A,A^{\ast }$

Matrices Herméticas

Las siguientes propiedades son válidas únicamente para matrices herméticas:

• $⟨x,Ay⟩=⟨Ax,y⟩$
• Los autovalores de $A$ son reales
• Los auto espacios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales
• Existe una base ortonormal de ${\mathbb{C}}^n$ formada por autovectores de $A$. Sus multiplicidades algebraicas y geométricas coinciden. Toda matriz hermética es, a su vez, diagonalizable.

Note

Una matriz diagonalizable unitariamente no es necesariamente hermética.

Matrices Definidas Positivas:

Una matriz $A$ es definida positiva si $A^{\ast }=A$, y $x^{\ast }Ax>0$, para todo $x$ no nulo. Estas matrices tienen todos sus autovalores positivos (y reales)

Matrices Semi Definidas Positiva:

Una matriz $A$ es definida negativa si $A^{\ast }=A$, y $x^{\ast }Ax\ge 0$, para todo $x$ no nulo. Estas matrices tienen todos sus autovalores no negativos (y reales)

Matrices Indefinidas

Estas matrices tienen autovalores tanto positivos como negativos (reales)

Matrices Unitarias

Las siguientes propiedades son válidas únicamente para matrices unitarias:

• Sus autovalores tienen módulo $1$.
• El determinante tiene módulo $1$. (El determinante es el producto de sus autovalores)
• Sean $U,V$ dos matrices unitarias, $UV$ es unitaria.
• $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$. La multiplicación por una matriz unitaria preserva el producto interno.
• $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$. La multiplicación por una matriz unitaria preserva la norma.
• Los autovectores de una matriz unitaria asociados a autovalores distintos son ortogonales.
• Las matrices unitarias son invertibles, se cumple que $U^{-1}=U^{\ast }$

Matrices Simétricas

Las matrices simétricas son diagonalizable ortogonalmente. Además, son las únicas matrices reales diagonalizables ortogonalmente.

Matrices Anti-Herméticas

Las siguientes propiedades son válidas únicamente para matrices anti herméticas (y antisimétricas):

• Para todo $x\in {\mathbb{C}}^n$, $x^{\ast }Ax$ es imaginario puro o nulo
• Los autovalores de $A$ son imaginarios puros o nulos.
• Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
• Existe $U$ unitaria tal que $A=UD{U}^{-1}$

Isometrías

Sea $\mathbb{V}$ un espacio vectorial con producto interno, entonces el operador $T:\mathbb{V}\to \mathbb{V}$ es una isometría si

$$d(T(x),T(y))=d(x,y)$$ $$\Vert T(x)\Vert =\Vert x\Vert$$

Es decir, el operador $T$ preserva la norma. Además, preserva el producto interno. El producto interno se preserva si y solo si se preserva la norma.