Distribuciones Importantes

Chi-Cuadrado ${\chi }^2$

la variable aleatoria $X$ tiene distribución ${\chi }^2$ de $\nu$ grados de libertar si su densidad está dada por

$$f_X(x)=\frac{1}{\Gamma (\nu /2)}(\frac{1}{2}{)}^{\nu /2}{x}^{\nu /2-1}{e}^{-x/2}\cdot \mathbb{I}\{x>0\}$$

Se puede observar que coincide con la distribución $\Gamma (\nu /2,1/2)$. De ahí, deducimos fácilmente su esperanza y su varianza

Sea $Z$ un normal estándar, entonces la variable aleatoria $X=Z^2\sim {\chi }_1^2$

La suma de variables independientes de distribución ${\chi }^2$ de ${\nu }_i$ grados de libertad nos da una nueva variable aleatoria ${\chi }^2$ de $\sum {\nu }_i$ grados de libertad. (al igual que con una Gamma)

Corolario

Se llama distribución ${\chi }^2$ con $\nu$ grados de libertad a la distribución $U={\sum }_{i=1}^{\nu }{Z}_i^2$, donde $Z_i,\cdots ,Z_n\sim \mathcal{N}(0,1)$

T de Student

Sean $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$ y $U\sim {\chi }_n^2$ dos variables aleatorias independientes, entonces definimos

$$\frac{Z}{\sqrt{U/N}}=T\sim t_n$$

A medida que aumentan los grados de liberta, la función tiende a una normal estándar.

F de Fisher-Snedecor

Sean $U,V$ dos variables aleatorias independientes con distribución ${\chi }^2$ de ${\nu }_1,{\nu }_2$ grados de libertad respectivamente, entonces

$$F=\frac{U/{\nu }_1}{V/{\nu }_2}\sim {\mathcal{F}}_{{\nu }_1,{\nu }_2}$$

Teorema

Sean $X_1,\cdots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

$$Z=\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,1)\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$W=\sum _{I=1}^n\frac{(X_i-\overline{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2\text{\hspace{1em}(2)}$$ $$Z,W\text{ son independientes}\text{\hspace{1em}(3)}$$ $$\begin{array}{r}\text{Si: }{S}^2=\sum _{i=1}^n\frac{(X_i-\overline{X}{)}^2}{n-1},\\ \text{Entonces: }T=\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{X}-\mu }{S}\sim t_{n-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$