Variables Aleatorias

Una variable aleatoria V.A. es una función $X$ que le asigna a cada uno de los elementos de $\Omega$ un número real $X(\omega )$. Para definir $X$, usamos un texto que relacione el espacio muestral con los números reales.

Sea $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ un E.P. y $X:\Omega \to \mathbb{R}$ una función, diremos que $X$ es una variable aleatoria si $X^{-1}(x)\in \mathcal{A}$. Es decir, el dominio de la función es el álgebra de eventos.

Función de Distribución

Sea $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ un E.P. y $X$ una V.A., definimos su función de distribución $F_X:\mathbb{R}\to [0,1]$ dada por

$$F_X(x)=P(X\le x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Propiedades

1. $F_X(x)\in [0,1],\forall x\in \mathbb{R}$
2. $F_X(x)$ es monótona no decreciente.
3. $F_X(x)$ es continua a derecha.
4. $\underset{x\to -\infty }{\lim }{F}_X(x)=0,\text{ y }\underset{x\to +\infty }{\lim }{F}_X(x)=1$

Variable Aleatoria Discreta

Sea $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ un E.P. y $X$ una V.A., diremos que $X$ es una V.A.D. cuando existe $A\in \mathbb{R}$ finito o infinito numerable tal que $P_X(A)=1$, donde $P_X(A)=P(X\in A)$.

Rango de V.A.D

$$R_X=\{x\in \mathbb{R}:P_X(x)>0\}$$

El rango de la variable aleatoria son los puntos donde la variable tiene probabilidad.

Función de Probabilidad

Sea $X$ una V.A.D., se llama función de probabilidad de $X$ a una función $P_X:\mathbb{R}\to [0,1]$ tal que $P_X(x)=P(X=x)$. Con cada resultado posible $x_i$ asociamos un número $P_x(x_i)$

1. $P_X(x_i)\ge 0,\forall x_i$
2. $\sum _{x\in R_x}{P}_X(x)=1$

El gráfico de esta función se ve como un conjunto de puntitos.

Función de Distribución

Si la variable aleatoria es discreta, entonces la función de distribución será escalonada y continua a derecha. Los saltos de la función de distribución representan los cambios en la probabilidad de los casos en ese salto.

$$P_X(x_j)=P(X=x_j)=F_X(x_j)-F_X(x_{j-1})$$

Variable Aleatoria de Bernoulli

Una V.A. tiene una distribución de Bernoulli si sus valores posibles son $0$ y $1$ y le asigna $P(x=1)=p$. Es decir, $X$ es una V.A.D., $R_X=\{0,1\}$ y $P_X(0)=1-p$

$$X\sim Ber(p)$$

Función Indicadora

Es un caso particular de la función indicadora donde $p=1$. Su forma compacta es la siguiente:

$$1\{x\in A\}=\{\begin{array}{l}0\text{ Si }X\notin A\\ 1\text{ Si }X\in A\end{array}$$

Variable Aleatoria Continua

Una V.A. es continua si se cumplen las siguientes condiciones.

1. Su conjunto de valores posibles se compone de todos los números que hay en un solo intervalo, o en una unión excluyente de intervalos
2. Ningún valor posible tiene probabilidad positiva, es decir, $P(X=c)=0\forall c\in R$

Función de Densidad de Probabilidad

Debe existir una función de densidad de probabilidad $f_x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que:

1. $f_X(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx=1$
3. Para cualquier $a,b$ tal que $a<b$, tenemos que $P(a<X<b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$

Esta función solo existe para variables aleatorias continuas.

Función de Distribución

Para variables aleatorias continuas, tenemos que la probabilidad de distribución se calcula como

$$F_X(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(x)dx$$

Esta función siempre va a ser continua. No puede contener saltos, ya que eso implicaría que la probabilidad se acumule en un punto, lo cual es imposible.

Teorema

Sea $F_X(x)$ la función de distribución de una V.A.C., luego $f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_x(x)$

Tipos de Variable Aleatoria

Átomos: Diremos que $a\in \mathbb{R}$ es un átomo de $F_X(x)$ si su peso es positivo, es decir, la probabilidad cumple que $P(X=a)>0$

El conjunto de todos los átomos de $F_X(x)$ coincide con los puntos de discontinuidad de $F_X(x)$. Podemos definir:

1. La V.A. $X$ será discreta si la suma de las probabilidades de todos sus átomos es $1$
2. La V.A. $X$ será continua si no tiene átomos. (continúa)
3. La V.A. $X$ será mixta si no cumple ninguna de las dos condiciones anteriores.

Soporte: Conjunto de puntos donde la función salta (átomos) o su derivada es distinta de $0$ (crece)

Variable Aleatoria Mixta

Cuando tratamos con variables mixtas, entonces para calcular probabilidad de intervalos debemos usar la siguiente expresión. Esta fórmula es válida para cualquier tipo de variable aleatoria.

$$P(A<X\le B)=F_X(B)-F_X(A)$$