Variables Aleatorias Condicionadas

Sean $X,Y$ variables aleatorias discretas con $p_X(x)>0$. La función de probabilidad de $Y$ dado que $X=x$ es

$$p_{Y|X=x}(y)=P(Y=y|X=x)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}$$ $$p_{Y|X=x}(y)=\frac{p_{XY}(x,y)}{p_X(x)}$$

De esta forma, encontramos que

$$p_{X,Y}(x,y)=p_{Y|X=x}(y)p_X(x)=p_{X|Y=y}(x)p_Y(y)$$

Propiedad Útil

Sean $X,Y$ variables aleatorias discretas tal que $p_{Y|X=x}(y)=p_Y(y)$, entonces podemos decir que $X,Y$ son independientes.

Vectores Aleatorios Continuos

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio continuo con densidad conjunta $f_{X,Y}(x,y)$ y densidad marginal $f_X(x)$, entonces para cualquier valor de $X$ con el cual $f_X(x)>0$, la función de densidad de la variable aleatoria condicionada $Y$ dado $X=x$ es

$$f_{Y|X=x}(y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}$$

Si $f_X(x)=0$, entonces la densidad condicional vale $0$. De forma análoga, obtenemos que

$$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X=x}(y)f_X(x)=f_{X|Y=y}(x)f_Y(y)$$