Polinomio de Hermite

Es un polinomio interpolador de $f$ en los nodos $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ y la derivada del polinomio coincide con la derivada primera de la función en dichos nodos.

Para calcularlo, se define la sucesión $z_0,z_1,\cdots z_n$ de la siguiente manera

$$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i$$

Ahora construimos una tabla con las diferencias divididas a partir de la sucesión $z$. Como algunas diferencias no estarán definidas (no se puede dividir por cero) entonces, tomamos la siguiente igualdad.

$$f[z_{2i};z_{2i+1}]=f^{\prime }[x_i]$$

A partir de los datos de la función, definimos un polinomio de newton de grado $2n+1$

$$f[z_0]+\sum _{k=1}^{2n+1}f[z_0,\cdots ,z_k](x-z_0)\cdots (x-z_{k-1})$$

Fórmula del Error para el polinomio de Hermite

Al igual que con el polinomio de Lagrange, se puede aproximar a la función usando el polinomio a partir de la siguiente fórmula

$$f(x)=H_{2n+1}(x)+\frac{(x-x_0{)}^2\cdots (x-x_n{)}^2}{(2n+2)!}{f}^{(2n+2)}(\xi (x))$$