Simulación

Simulación con Distribución Uniforme

Simular: “Imitar o fingir que se está realizando una acción cuando en realidad no se está llevando a cabo”

Para simular eventos, asigno a cada evento un segmento entre $[0,1)$. Luego, al obtener un número aleatorio entre $0,1$ con una calculadora/computadora, puedo saber que evento hubiese ocurrido.

Ejemplo

Tirar una moneda. $[0,\frac{1}{2})$ es cara, $[\frac{1}{2},1)$ es ceca.

Simulación con Distribución Particular

Dada una función $F(x)$, quiero encontrar una variable aleatoria cuya función de distribución coincide con $F$.

Sean $X$ y $U$ dos variables aleatorias con distribuciones distintas, diremos que dos eventos son equivalentes si acumulan la misma probabilidad. Para hacer esto, planteamos las dos funciones de distribución y buscamos los valores $x_1,x_2,x_3$ que acumulan la misma probabilidad $a_1,a_2,a_3$ que $u_1,u_2,u_3$. Sin embargo, no siempre va a ser tan fácil igualar las probabilidades acumuladas.

Se puede ver que estamos buscando cuantiles para $X$. Buscamos $x_i$ tal que la función de distribución $F_U$ haya acumulado $a_i$. Es decir, el cuantil $a_i$ de $X$.

Inversa Generalizada

$$F_X^{-1}(u)=\min \{x\in \mathbb{R}:F_X(x)\ge u\},u\in (0,1)$$

Sea $F$ una función de distribución, exista una variable aleatoria $X$ tal que $F_X(x)=P(X\le x)$

Note

Para encontrar todas las equivalencias, divido el intervalo $[0,1]$ en tramos donde cambia la distribución que quiero simular

Teorema

Sea $F$ una función de distribución, entonces si defino $X=F^{-1}(U)$, con $U\sim \mathcal{U}(0,1)$. Se tiene que $X$ es una variable aleatoria cuya función de distribución es la función $F$ dada.