Extremos Condicionados

Extremos en conjuntos compactos

Al limitar una función a un conjunto compacto, se generan nuevos extremos que antes no existían.

Teorema de Weierstras: Si $f$ es continua en el conjunto $D\subset {\mathbb{R}}^n$ compacto, va a tener en $D$ un máximo o mínimo absoluto

Encontrar extremos

1. Buscar los puntos críticos en todo el dominio
2. Descartar los puntos externos a $D$
3. Clasificar los puntos críticos
4. Analizar extremos en la frontera de $D$
5. Comparar los extremos obtenidos

Métodos

• Evaluar la función en los puntos de la frontera $g$: Calculamos $h(t)=f{|}_g$, y calculamos los extremos de $h$ buscando los ceros de la derivada primera y analizamos el signo de la derivada segunda. Al estar en un conjunto cerrado, también debemos analizar los puntos en los extremos del mismo.

• Parametrizar la curva y componer $h=f\circ g$: Este método se complica más, pero es útil conocer este procedimiento porque a veces no es tan fácil aplicar el primero

Multiplicadores de Lagrange

Los puntos donde las curvas de nivel son tangentes a la curva de la frontera, son considerados puntos críticos

$$\underset{\perp C_k}{\underbrace{\nabla f}}=\lambda \underset{\perp g}{\underbrace{\nabla G}}$$