Diferenciación Numérica

Aproximación por 2 puntos

Son aproximaciones simples que se realizan a partir de utilizar dos puntos de la función original. Se deducen a partir del teorema de Taylor, despejando la derivada primera e ignorando las derivadas siguientes.

Diferencias Progresivas (adelanto) y Regresivas (atraso)

Se realizan a partir de evaluar en un punto y a una distancia $h$ del punto

$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$

El error de estos métodos es del orden $O(h)$

Diferencias Centrales

Se realiza a partir de evaluar a una distancia $h$ del punto (esta aproximación es igual a la de la derivada centrada en tres puntos, de ahí su orden de error)

$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

El error de este método es del orden $O(h^2)$.

Aproximación por $n$ puntos

A partir de realizar una aproximación por Lagrange, podemos aproximar la derivada usando más puntos.

1. Escribo el polinomio de Lagrange $P$ con mis $n$ puntos. Si tomo los puntos delante del punto será una diferencia progresiva, si tomo puntos detrás del punto será una diferencia regresiva.
2. Busco la derivada $P^{\prime }$ del polinomio de Lagrange
3. Evaluó la derivada en el punto que estoy buscando

El orden del error de este método es de $O(h^{n-1})$

Cota de Error

La cota de error se encuentra a partir del error de derivar el término del error del polinomio de Lagrange, Si escribimos los puntos en función de $h$, podemos observar el orden del error.

Algunas Derivadas Usadas

$$f^{\prime }(x)\approx \frac{-3f(x)+4f(x+h)-f(x+2h)}{2h}+\frac{f^{(3)}(\xi )}{3}{h}^2,\text{3 Nodos, Progresiva}$$ $$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+\frac{f^{(3)}(\xi )}{6}{h}^2,\text{3 Nodos, Centrada}$$

Derivada de Órdenes Superiores

A partir de este método, podemos volver a derivar las expresiones para obtener aproximaciones de derivadas de orden superior.

Extrapolación de Richardson

La extrapolación de Richardson consiste en aproximar una derivada a partir de evaluar la función en puntos cada vez más cercanos al punto

1. Planteamos un $h$ inicial, evaluamos la función en los puntos de la sucesión $\{h/2^k{\}}_{k=0,n-1}$

2. Encontramos las aproximaciones $R^{(0)}$ para cada uno de puntos

   $$R^{(0)}(h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

3. A partir de un proceso similar al de las diferencias divididas, encontramos el término $R^{(n-1)}$ a partir de la ecuación

   $$R^{(k)}(h)=\frac{4^k{R}^{(k-1)}(h/2)-R^{(k-1)}(h)}{4^k-1}$$

Nuestro árbol de diferencias divididas se verá de la siguiente forma

Podemos encontrar que el orden de este método es del orden $O(h^{2k+2})$