Integrales Dobles

Regiones Rectangulares

Una integral doble busca el área debajo de una función de dos variables. Se puede pensar como la suma de muchos rectángulos, con los lados tendiendo a $0$. También como la suma de muchas integrales de Análisis I.

$$\begin{array}{rl}\iint f(x,y)dxdy& =\int dx(\int f(x,y)dy)\\ & =\int dy(\int f(x,y)dx)\end{array}$$

Regiones Simples

Las regiones simples son aquellas que, no son rectángulos, pero se parecen a estos. Un lado de la región es fijo, mientras que el otro varía. Se pone afuera el límite fijo, y adentro los límites variables.

$${\int }_a^{b}dx({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy)$$ $${\int }_a^{b}dy({\int }_{{\Psi }_1(x)}^{{\Psi }_2(x)}f(x,y)dx)$$

Note

Para regiones más complejas, se puede pensar la integral como la suma de distintas regiones simples, con límites variables conocidos.

Cambio de variable

Para facilitar la integración, se puede transformar la región para llegar a una más simple, Cambiando las coordenadas.

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}⟹\boxed{dxdy=K\cdot dudv}$$ $$K=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u^{\prime }& & x_v^{\prime }\\ y_u^{\prime }& & y_v^{\prime }\end{array}\right|\text{Factor de transformacion}$$

Note

El factor de transformación es siempre positivo

Esto permite que los límites de la integración sean más simples.

Regiones Circulares

En regiones circulares, es más fácil resolver las integrales dobles en coordenadas polares

$$\begin{gathered} \text{Variables}\{\begin{array}{l}\theta :\text{ Angulo}\\ r:\text{ Distancia al origen}\end{array} \\ \text{Diccionario}\{\begin{array}{l}x=r\cdot \cos \theta \\ y=r\cdot \sin \theta \\ r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array} \end{gathered}$$ $$K=r\cdot drd\theta$$