Test de Hipótesis

El test de hipótesis es una regla de decisión entre $H_0,H_1$, la expresamos como una función de la muestra aleatoria $\delta (\underline{X})$, que toma valores entre $0,1$. Si $\delta =1$, se rechaza la hipótesis nula. Si $\delta =0$, no se rechaza.

Debo encontrar tests que minimicen la probabilidad de error, priorizando minimizar el error del tipo 1.

Definiciones

Sea $\underline{X}$ una muestra aleatoria de una población con distribución paramétrica. Sean ${\Theta }_1,{\Theta }_2$ dos particiones de $\Theta$. Un test para este problema es una regla de decisión basada en $\underline{X}$ para decidir entre 2 hipótesis.

$$H_0:\theta \in {\Theta }_1$$ $$H_1:\theta \in {\Theta }_2$$

De esta forma, definimos la probabilidad de cada error:

$$P(\text{"Error I"})=P_{\theta }(\text{"Rechazar H0"}),\theta \in {\Theta }_1$$ $$P(\text{"Error II"})=P_{\theta }(\text{"No rechazar H0"}),\theta \in {\Theta }_2$$

Definimos entonces la potencia del test como

$${\pi }_{\delta }(\theta )=P_{\theta }(\delta (\underline{X})=1)=E(\delta (\underline{X}))$$

El test perfecto es aquel que tiene como función potencia una función partida con $\pi =0,\theta \in {\Theta }_1$, y $\pi =1,\theta \in {\Theta }_2$

Llamaremos nivel de significación $\alpha$ a la máxima probabilidad de cometer un error del tipo 1

$$\alpha (\theta )=P_{\theta }(\text{"Error I"})={\pi }_{\delta }(\theta ),\theta \in {\Theta }_1$$

Llamaremos $\beta$ a la máxima probabilidad de cometer un error del tipo 2

$$\beta (\theta )=P_{\theta }(\text{"Error II"})=1-{\pi }_{\delta }(\theta ),\theta \in {\Theta }_2$$

$P$-Valor

Definimos el $p$-valor como la probabilidad de encontrar otra muestra tan extremo como la hallada, Si $H_0$ fuera verdadero. Proponemos como límite: $p_V\le 0.05$

Test del Cociente de Verosimilitud

Dados dos parámetros, buscamos el cociente entre las funciones de verosimilitud de una muestra en cada parámetro. Si el cociente $T$ es mayor a un $k_{\alpha }$, entonces rechazamos la hipótesis nula. Nuestra constante $k_{\alpha }$ depende de la probabilidad $\alpha$ que deseamos de realizar un error del tipo 1.

$$T=\frac{f_{{\theta }_2}(\underline{X})}{f_{{\theta }_1}(\underline{X})}$$ $$\delta (\underline{X})=\{\begin{array}{l}1⟺T>k_{\alpha }\\ 0⟺T\le k_{\alpha }\end{array}$$

Para hallar $k_{\alpha }$, encuentro $\alpha$ y determino la probabilidad del error que estoy buscando. $T$ es el estadístico de

Propiedad

Sea $\underline{X}=(X_1,\cdot ,X_n)$ una muestra aleatoria con distribución perteneciente a una familia exponencial, luego

• Si $C(\theta )$ es creciente, el test para $H_0:\theta \le {\theta }_1,H_1:\theta >{\theta }_1$

$$\delta (\underline{X})=\{\begin{array}{l}1⟺T>k_{\alpha }\\ 0⟺T\le k_{\alpha }\end{array}$$

• Si $C(\theta )$ es decreciente, entonces para $H_0:\theta \le {\theta }_1,H_1:\theta >{\theta }_1$.

  $$\delta (\underline{X})=\{\begin{array}{l}1⟺-T>k_{\alpha }\\ 0⟺-T\le k_{\alpha }\end{array}$$

Si $H_0:\theta \ge {\theta }_1,H_1:\theta <{\theta }_1$, entonces las desigualdades se invierten.

Test con Nivel de Significación Asintótico

Sea $\underline{X}=(X_1,\cdots ,X_n)$ una muestra aleatoria de una población con distribución $F_{\theta }(x),\theta \in \Theta$

Si se quiere testear $H_0:\theta \in {\Theta }_1,H_1:\theta \in {\Theta }_2$

Se dirá que una sucesión de tests ${\delta }_n(\underline{X})$ tiene nivel de significación asintótica $\alpha$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{\theta \in {\Theta }_1}{\sup }{\Pi }_{{\delta }_n}(\theta )=\alpha$$

Se utiliza para las variables aleatorias discretas.