Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Vamos a determinar todas las soluciones de ecuaciones diferenciales de orden $n$ de la forma:

$$L(y)=y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f$$

Ya que $L$ es una transformación lineal, las soluciones del nulo de esta transformación son las soluciones del sistema homogéneo asociado. Si la E.D.O. es de orden $n$, entonces $Nu(L)$ tiene dimensión $n$.

Todas las soluciones de la ecuación se puede anotar como:

$$v=v_p+v_N$$

Solución General

A cada ecuación diferencial de la forma anterior, le podemos asociar un polinomio característico de grado $n$

$$p(r)=r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0$$

Si $\lambda$ es raíz de $p$, entonces $y(t)=e^{\lambda t}$ es solución de la ecuación homogénea asociada.

Base del Subespacio

Si el polinomio característico tiene $n$ raíces reales distintas, entonces $\{e^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x},\cdot ,e^{{\lambda }_{n}x}\}$ es una base del subespacio nulo.

Si el polinomio característico tiene alguna raíz real $\beta$ de multiplicidad $k$, entonces vamos a obtener $k$ soluciones linealmente independientes de la forma $\{e^{\beta x},x{e}^{\beta x},\cdots ,x^{k-1}{e}^{\beta x}\}$.

Si el polinomio característico tiene raíces no reales $(a\pm ib)$, entonces podemos conseguir dos funciones reales linealmente independientes. $\{e^{ax}\cos (bx),e^{ax}\sin (bx)\}$

Solución Particular

Una vez que tenemos las soluciones de la homogénea asociada, es momento de encontrar una solución particular. Para eso, vamos a hacerlo a través del método de coeficientes indeterminados.

Este método consiste en proponer una forma de la función $y_p$ solución para cierto tipo de función $f$, si las raíces del polinomio característico cumplen con las condiciones especificadas.

$f$	$y_p$	$\text{Raıˊces del polinomio caracterıˊstico}$
$P_n$	$P_n$	$r\ne 0$
$P_n$	$P_{n+1}$	$r=0:\text{Raıˊz Simple}$
$P_n$	$P_{n+k}$	$r=0:\text{Raıˊz mult. }k$
$e^{\lambda x}$	$k{e}^{\lambda x}$	$r\ne \lambda$
$e^{\lambda x}$	$P_k{e}^{\lambda x}$	$r=\lambda :\text{Raıˊz mult. }k$
$\sin (cx)$	$k_1\sin (cx)+k_2\cos (cx)$	$r\ne ci$
$\sin (cx)$	$P_k\sin (cx)+Q_k\cos (cx)$	$r=ci:\text{Raıˊz mult. }k$
$\cos (cx)$	$k_1\sin (cx)+k_2\cos (cx)$	$r\ne ci$

Si la función $f$ es una suma de las funciones mencionadas, entonces la solución particular es una suma de las soluciones particulares de la ecuación diferencial con cada $f_n$.