Propiedades de la Esperanza

Predicción

Sea $Y$ una V.A., $\mathbb{X}=(X_1,\cdots ,X_n)$ un vector aleatorio, existirá alguna función $g(x)$ que nos sirve para predecir a $Y$. Para encontrar dicha función se calcula el error cuadrático medio

$$\text{ECM}=E[(Y-g(\mathbb{X}){)}^2]$$

Si $g(X)=c$, busco $c$ tal que el error cuadrático medio sea mínimo.

$$c=E[Y]$$

Si $g(X)=a+bX$, busco $c$ tal que el error cuadrático medio sea mínimo.

$$a=E(Y)+bE(X)$$ $$b=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}$$ $$g(X)=\hat{Y}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}(X-E(X))+E(Y)$$

Desigualdades

Desigualdad de Markov

Sea $h:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ tal que $h$ es par, y restringida a ${\mathbb{R}}^{+}$ es creciente, y sea $X$ una V.A. tal que $E(h(x))$ existe, entonces $\forall t\in \mathbb{R}$

$$P(|X|\ge t)\le \frac{E[h(x)]}{h(t)}$$

Si además, $X$ es no negativa, $\forall a>0$

$$P(X\ge a)\le \frac{E(x)}{a}$$

Desigualdad de Tchevychev

Sea $X$ una V.A. con varianza finita, $\forall k>0$

$$P(|X-E(X)|\ge k)\le \frac{\text{Var}(X)}{k^2}$$

Note

Esta es la desigualdad de Markov si $Y=X-E(X)$ y $h(t)=t^2$