Proceso Bernoulli

Supongamos que defino una variable aleatoria que valga $1$ si sale un $1$ en el tiro $i$ de un dado, $0$ en otro caso.

Esta variable aleatoria tendrá distribución Bernoulli de parámetro $1/6$. Si tiro el dado una y otra vez, observo.

• Sale el $1$, o no (dicotomía)
• $P(X_i=1)=\frac{1}{6}\forall i$ ($p$ constante)
• Los tiros (experimentos) son independientes entre sí

Estas observaciones se denominan Proceso Bernoulli. Nos referimos al caso $X_i=1$ como un éxito.

Bajo este experimento, podemos definir distintas cosas

• Cuantas veces obtengo éxito en $n$ experimentos
• Si busco observar $n$ éxitos, cuantas veces debo realizar el experimento

Binomial de parámetros $n,p$

La distribución geométrica nos indica la probabilidad de la cantidad de éxitos en $n$ experimentos

$$P_Y(y)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{y}\right)p^y(1-p{)}^{n-y}$$

Se puede considerar como una suma de $n$ variables de Bernoulli, independientes

Pascal de parámetros $k,p$

La distribución Pascal nos indica la probabilidad de la cantidad de experimentos necesarios hasta obtener $k$ éxitos.

$$P_W(w)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w-1}{k-1}\right)p^k(1-p{)}^{w-k}$$

Geométrica de parámetro $p$

La distribución Geométrica nos indica la probabilidad de cantidad de experimentos necesarios hasta obtener un éxito

$$P_N(n)=p(1-p{)}^{n-1}$$

Se puede relacionar $N$ con $W$ a partir de

$$W=\sum _{i=1}^k{N}_i$$

Una distribución pascal es una suma de distribuciones geométricas independientes.