Probabilidad

Definiciones

• Experimento Aleatorio: Conozco todos los posibles resultados, pero no sé cuál va a ocurrir.
• Espacio Muestral $\Omega$: Conjunto de resultados posibles del experimento aleatorio.
• Evento $A\in \Omega$: Resultado particular del experimento.
• Frecuencia Relativa: Cuantas veces ocurre un evento particular en un número determinado de eventos.
• Espacio Equiprobable: Todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrir.

$$P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\#A}{n}$$

Laplace

En un espacio equiprobable se puede calcular la probabilidad de $A$ a partir de un conteo de eventos.

$$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega }$$

Definición Axiomática de Probabilidad

$$P(A):\Omega \to [0,1]$$

Axiomas

1. $0\le P(A)\le 1,\forall A\in \mathcal{A}$
2. $P(\Omega )=1$
3. $A,B/A\cap B=\varnothing ⟹P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
4. $A_1\ge A_2\ge A_3\ge \cdots /{\cap }_{i=1}^{\infty }{A}_i=\varnothing ⟹{\lim }_{n\to \infty }P(A_n)=0$

Propiedades

$$P(\overline{A})=1-P(A)\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\text{\hspace{1em}(2)}$$ $$\begin{array}{rl}P(A\cup B\cup C)& =P(A)+P(B)+P(C)\\ & -P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)\\ & +P(A\cap B\cap C)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

Álgebra de Eventos

Álgebra de Eventos: $\mathcal{A}$: Conjunto de eventos a los que le puedo calcular su probabilidad.

Dado $\Omega$, entonces $\mathcal{A}$ es álgebra de eventos si:

1. $\Omega \in \mathcal{A}$
2. Si $B\in \mathcal{A}$, entonces $\overline{B}\in \mathcal{A}$
3. Si $A,B\in \mathcal{A}$, entonces $A\cup B\in \mathcal{A}$
4. Si $(A_n{)}_{n\ge 1}$ es sucesión de $\mathcal{A}$, entonces ${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$

Propiedades

1. $\varnothing \in \mathcal{A}$
2. ${\cup }_{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{A}$
3. ${\cap }_{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{A}$

Teorema 1

Sea $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una sucesión eventos tal que $A_n\subset A_{n+1}$ y $A={\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$, luego

$$P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)$$

Teorema 2

Sea $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una sucesión eventos tal que $A_n\supset A_{n+1}$ y $A={\cap }_{i=1}^{\infty }{A}_i$, luego

$$P(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)$$

Teorema ($\sigma$-aditividad)

Sea $A={\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$, con los eventos $A_i$ mutuamente excluyentes dos a dos, entonces

$$P(A)=P({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$$