Funciones de varias variables

Tipos de funciones

• Campo escalar: es una función que asigna un número real $z$ a cada vector $(x_1,x_2,...,x_n)$

  $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=z$$

• Campo vectorial: es una función que asigna, de manera unívoca, un vector $(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$ a cada punto $(x_1,x_2,...,x_n)$

  $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$$

• Función vectorial: es una función que asigna un vector $(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$ a cada número real $t$

  $$f(t)=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$$

Representación de campos escalares

Dado un campo escalar de $n$ variables $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$, se le llama gráfica al siguiente subconjunto de ${\mathbb{R}}^{n+1}$

$$Gr(f)=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}/x_{n+1}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D\}$$

Para $n\ge 3$, no hay representación gráfica posible

Conjuntos de nivel

Para cada valor real $k\in Im(f)$, se denomina conjunto de nivel $k$ de un campo escalar $f$ con dominio $D\subset {\mathbb{R}}^n$ al siguiente subconjunto del dominio de $f$

$$L_k=\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D/f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=k\}$$

Para campos escalares de dos variables, los conjuntos de nivel son, en general, curvas en el plano.

$$L_k=\{(x,y)\in D/f(x,y)=k\}$$

Representación de campos vectoriales

Para campos vectoriales de $R^2$ en $R^2$ y $R^3$ en $R^3$, se suele graficar, con origen en cada punto del dominio, un vector flecha que represente el valor vectorial del campo en ese punto

Representación de funciones vectoriales

Las funciones vectoriales, con dominio en $R$ e imagen en $R^n$, admiten una representación para los casos en que $n=2$ y $y=3$. En estos casos se acostumbra representar el recorrido o imagen de la función, en el plano o en el espacio, según corresponda

$$\vec{f}(t)=(t,t^2)$$