Descomposición LU

La factorización LU consiste en descomponer la matriz en dos matrices diagonales, por lo que su resolución será simple.

$$Ax=LUx=L(Ux)=b$$

La complejidad de la solución será de $O(n^2)$

Paso 1

El primer paso consiste en encontrar la primera fila de $u$, a partir de la multiplicación de la primera fila de $L$ con las columnas de $U$

$$u_{1j}=a_{1j}$$

Luego, buscamos la primera columna de $l$, a partir de la multiplicación de las filas de $L$ con la primera columna de $U$

$$l_{j1}=\frac{a_{j1}}{u_{11}}$$

Paso 2

Aplicamos el paso 3 y 4 sucesivamente, para $i=2,\cdots ,n-1$

Pase 3

Obtenemos $u_{ii}$ a partir de multiplicar la fila $i$ de $L$ con la columna $i$ de $U$

$$u_{ii}=a_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{u}_{kj}$$

Paso 4

Buscamos la $i$-ésima fila de $U$, y la $i$-ésima columna de $V$

$$u_{ij}=a_{ij}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{u}_{kj}$$ $$l_{ji}=\frac{1}{u_{ii}}[a_{ji}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{jk}{u}_{ki}]$$