Curvas de nivel y Regla de la cadena

Sea $f:R^2\to R$ diferenciable y $X(x(t),y(t))$ una curva de nivel $k$ de $f$

$$\begin{array}{c}f(x(t),y(t))=k\\ \underset{\text{Buscamos el gradiente de la composicion}}{\underbrace{D_{f\circ X}=0}}\end{array}$$ $$\boxed{D_f(x(t),y(t))\cdot \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\end{array}\right)=0}$$

El gradiente de una función diferenciable de dos variables es en cada punto ortogonal al vector tangente a la curva de nivel que pasa por ese punto

Sea $f(x,y,z)$ diferenciable, $C_k$ una superficie de nivel. Si tomamos una de las infinitas curvas de nivel $C:(x(t),y(t),z(t))$a

$$\begin{array}{c}f\circ C(t)=k\\ \underset{\text{Buscamos el gradiente de la composicion}}{\underbrace{D_{f\circ C}=0}}\end{array}$$ $$\boxed{\nabla f(x(t),y(t),z(t))\cdot \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\\ z^{\prime }(t)\end{array}\right)=0}$$

El gradiente es perpendicular a las direcciones tangentes a la curva de nivel en ese punto