Vectores Aleatorios

Sea $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ un espacio muestral, se dice que $X=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ es un vector aleatorio de dimensión $n$, si para cada $J=1,\cdots ,n$, $X_j:\Omega \to \mathbb{R}$ es una variable aleatoria.

Para todo $x=(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ se tendrá que

$$X^{-1}((-\infty ,x_1),(-\infty ,x_2),\cdots ,(-\infty ,x_n))\in \mathcal{A}$$

Un vector aleatorio es un vector formado por variables aleatorias.

Función de Distribución

Sea $\mathbb{X}=(X_1,\cdots ,X_n)$ un vector aleatorio continuo de dimensión $n$, entonces definimos la función de distribución como

$$F_{\mathbb{X}}(x)=P(X_1\le x_1,\cdots ,X_n\le x_n)$$

Propiedades con $\mathbb{X}=(X,Y)$

1. $\underset{x,y\to \infty }{\lim }{F}_{\mathbb{X}}(x)=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }{F}_{\mathbb{X}}(x)=0,\underset{y\to -\infty }{\lim }{F}_{\mathbb{X}}(x)=0$
2. $F_{\mathbb{X}}(x)$ es monótona no decreciente en cada variable
3. $F_{\mathbb{X}}(x)$ es continua a derecha en cada variable
4. $P((x,y)\in (a_1,b_1)\times (a_2,b_2))=F_{\mathbb{X}}(b_1,b_2)-F_{\mathbb{X}}(b_1,a_2)F_{\mathbb{X}}(a_1,b_2)+F_{\mathbb{X}}(a_1,a_2)$

Función de Probabilidad

Sean $X,Y$ dos variables aleatorias discretas, la probabilidad conjunta se define para cada par de números $(x,y)$ como

$$P_{x,y}(x,y)=P(X=x,Y=y)$$

Además, debe cumplirse que la probabilidad sea positiva, y la sumatoria de todas las probabilidades es $1$.

Se define la probabilidad marginal como la probabilidad de que una de las variables tome un valor particular se define como.

$$P_X(x)=\sum _y^{n_y}P(X=x,Y=y)$$ $$P_Y(y)=\sum _x^{n_x}P(X=x,Y=y)$$

En general, para un conjunto $A$. Entonces la probabilidad se calcula de la siguiente manera

$$P((x,y)\in A)={\sum \sum }_{(x,y)\in A}{P}_{x,y}(x,y)$$

Función de Densidad

Para un vector aleatorio continuo, se define función de densidad a una función que satisface

1. $f_{x,y}(x,y)\ge 0$
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{x,y}(x,y)dxdy=1$

Entonces, para cualquier conjunto $A$

$$P((x,y)\in A)={\iint }_A{f}_{x,y}(x,y)dxdy$$

Las funciones de densidad marginal de $X,Y$ serán

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{x,y}(x,y)dy$$ $$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{x,y}(x,y)dx$$

Independencia

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio, las variables aleatorias $X,Y$ son independientes si y solo si

$$P(X\in A\cap Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)\forall A,B$$

Propiedades

1. Se dice que $X_1,\cdots ,X_n$ son variables aleatorias independientes si y solo si

   $$F_{X_1,\cdots ,X_n}(x_1,\cdots x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n)$$

2. Para el caso de variables aleatorias discretas, son independientes si y solo si

   $$P_{X_1,\cdots ,X_n}(x_1,\cdots x_n)=P_{X_1}(x_1)\cdots P_{X_n}(x_n)$$

3. Para el caso de variables aleatorias continuas, son independientes si y solo si (vale para casi todo $x_1,\cdots ,x_n$)

$$f_{X_1,\cdots ,X_n}(x_1,\cdots x_n)=f_{X_1}(x_1)\cdots f_{X_n}(x_n)$$