Teoremas Útiles

Teorema de Combinación Lineal

Sean $X_1,\cdots ,X_n$ variables aleatorias independientes con $X_i\sim \mathcal{N}({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$, y sea $Y={\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i$, entonces $Y$ tendrá distribución normal de parámetros:

$${\mu }_{=}\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i$$ $${\sigma }^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2$$

Es decir, pensamos $Y$ como combinación lineal de distribuciones normales independientes

Ley de los Grandes Límites

Se dice que si se tiene una sucesión de variables aleatorias independientes $(X_n{)}_{n\ge 1}$con $E[X_i]=\mu <\infty$, y $\text{var}[x_i]={\sigma }^2<\infty$, entonces ${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$, entonces este promedio tiende a $\mu$

Ley Débil de los Grandes Números (Markov)

$$P(|{\overline{X}}_n-\mu |>\epsilon )\to 0$$

La probabilidad de que la aproximación se aleje de $\mu$ tiende a $0$ a mayor $n$

$$E({\overline{X}}_n)=\mu$$ $$\text{Var}({\overline{X}}_n)={\sigma }^2/n$$