Propiedades de V.A.

Función de Variable Aleatoria

Sea $Y=g(X)$ una función de variable aleatorio, siendo $X$ una V.A.D., $Y$ será discreta, con:

$$\begin{array}{r}{p}_Y(y)=P(Y=y)=\sum _{x\in B}{p}_X(x)\\ B=\{x\in \mathbb{R}:g(x)=y\}\end{array}$$

Si mi variable aleatoria no es discreta, entonces generalizamos:

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$$

Truncamiento

Truncamiento consiste en encontrar una nueva función de densidad para el caso de probabilidad condicional. Podemos restringir la función para cuando $X\in A$, manteniendo las propiedades de una función de densidad.

$$f_{X|X\in A}(x)F_{X|X\in A}(x)=P(X\le x|x\in A)$$

A partir de desarrollar la probabilidad condicional, obtenemos

$$f_{X|X\in A}(x)=\frac{f_X(x)1\{x\in A\}}{P(X\in A)}$$

Cuantil

Un cuantil de una variable aleatorio será el menor $x_{\alpha }$ tal que

$$P(X\le x_{\alpha })=\alpha$$

Es decir, buscamos un valor de $x$ tal que acumule a izquierda una probabilidad $\alpha$

$$F_X(x_{\alpha })\ge \alpha$$