Modelos Paramétricos

La distribución de $X$ pertenece a una familia de distribuciones $\mathcal{F}$ que dependen de un parámetro desconocido

Será $\mathcal{F}$ una familia de distribuciones de probabilidad parametrizada por un subconjunto no vacío $M\in {\mathbb{R}}^p$ llamado espacio paramétrico.

$$\mathcal{F}=\{F_{\theta }(x):\theta \in M\}$$

Función de Verosimilitud

Llamamos función de verosimilitud a la función conjunta vista como función del parámetro desconocido $\theta$

$$L(\theta )={\Pi }_{i=1}^n{f}_{\theta }(x_i)$$ $$L(\theta )={\Pi }_{i=1}^n{p}_{\theta }(x_i)$$

Note

La letra $L$ viene del inglés “likelihood”

Familia Paramétrica Regular

Diremos que una familia paramétrica es regular si:

1. El soporte de $f_{\theta }(x)$ no depende de $\theta$
2. $f_{\theta }(x)$ es derivable con respecto a $\theta \forall x$
3. El conjunto paramétrico $M$ es abierto

Familias Exponenciales

Se dice que una familia de distribuciones en ${\mathbb{R}}^q$ con distribución $F_{\theta }(x)$ es una familia exponencial a $k$ parámetros si su función de densidad (o probabilidad) se puede escribir de la siguiente forma

$$f_{\theta }(x)=A(\theta )\cdot e^{{\sum }_{i=1}^k{c}_i(\theta )r_i(x)}\cdot h(x)$$

Donde las funciones involucradas:

• $C_i(\theta ):M\to \mathbb{R}$
• $A(\theta ):M\to {\mathbb{R}}^{+}$
• $r_i(x):{\mathbb{R}}^q\to \mathbb{R}$
• $h_i(x):{\mathbb{R}}^q\to {\mathbb{R}}^{+}$