Esperanza para Vectores

Esperanza para Vectores Aleatorios

Sea el vector aleatorio $X,Y$, entonces definimos la esperanza de una función de las variables aleatorias como

$$E(h(X,Y))=\sum _{x\in R_X}\sum _{y\in R_Y}h(x,y)p_{X,Y}(x,y)$$ $$E(h(X,Y))={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$$

Propiedades de Orden

Sea $X$ un vector aleatorio y $g:{\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$ una función, tenemos que:

1. Si $X>0$, entonces $E(X)>0$
2. Si $g(x)>0$, entonces $E(g(X))>0$
3. Sea $h(x)>g(x)$, entonces $E(h(X))>E(g(X))$
4. $E(|X|)\ge E(X)$
5. $E(|XY|)\le \sqrt{E(X^2)E(Y^2)}$

Propiedades Importantes

1. Linealidad de la esperanza: $E[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i]={\sum }_{i=1}^n{a}_{i}E(x_i)$

2. Si $x_1,\cdots ,x_n$ son variables aleatorias independientes, entonces

   $$E({\Pi }_{i=1}^n{X}_i)={\Pi }_{i=1}^{n}E(X_i)$$

Covarianza para Vectores Aleatorios

La covarianza sirve para encontrar una relación entre dos variables aleatorias. Definimos

$$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X)(Y-E(Y))]$$

Como es una multiplicación, el significado del resultado lo voy a encontrar en su signo, no en su magnitud. Si tenemos una dependencia lineal creciente, entonces la covarianza resultara positiva. En caso contrario, la covarianza resultará negativa.

Propiedades

1. $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
2. Si $X,Y$ son independientes, entonces $\text{Cov}(X,Y)=0$
3. Colinealidad: $\text{Cov}(a+bX,c+dY)=bd\cdot \text{Cov}(X,Y)$
4. $\text{Cov}(X+Y,Z)=\text{Cov}(X,Z)+\text{Cov}(Y,Z)$
5. $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$

Coeficiente de Correlación

Entre las variables aleatorias $X,Y$, está dado por. Toma un valor entre $[-1,1]$

$${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}$$

Si ${\rho }_{XY}=\pm 1$, entonces $P(aX+b=Y)=1$