Ley de Gauss

$$\underset{\text{Teorema de Gauss}}{\underbrace{{\oint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\int }_V\nabla \cdot \vec{F}\cdot d\vec{V}}}$$

El teorema de Gauss solo nos permite calcular módulos, no podemos encontrar la dirección del campo. Esa la tenemos que razonar por nuestra cuenta

Enunciado

La ley de Gauss tiene dos formas, la forma integral y la forma diferencial. Ambas relacionan el campo eléctrico con la carga encerrada, o con la densidad de carga

\text{Forma Integral}:\phi = {\subset\!\supset} \llap{\iint} \vec Ed\vec s = \frac{Q_\text{enc}}{\varepsilon_0} $$\text{Forma Diferencial}:\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

Carga Puntual

Si analizamos el flujo a través de una superficie cerrada de una carga puntual en su interior, llegamos a la siguiente expresión:

\phi = {\subset\!\supset} \llap{\iint}_S \vec E\cdot d\vec s = {\subset\!\supset} \llap{\iint} \frac{kq}{r^2}\cdot\hat r \cdot r^2\sin\theta\cdot d\theta d\phi\cdot \hat r \phi = kq{\subset\!\supset} \llap{\iint}_S ds = kq\cdot 4\pi \implies \varphi =\frac{Q}{\varepsilon_0}

Note

Podemos demostrar a través del teorema de gauss que el flujo es independiente de la superficie.

Múltiples Cargas

Para el caso de múltiples cargas, el flujo es proporcional a la suma de las cargas individuales dentro de la superficie. Esto se debe a que las operaciones que se aplican son lineales. Se pueden distribuir

\phi = {\subset\!\supset} \llap{\iint}_S \vec E\cdot d\vec s = {\subset\!\supset} \llap{\iint}_S \sum_i\vec E_i\cdot d\vec s = \sum_i{\subset\!\supset} \llap{\iint}_S \vec E_i\cdot d\vec s $$\varphi =\frac{\sum Q}{{\epsilon }_0}$$

Note

Para el cálculo del flujo, solo se tienen en cuenta las cargas dentro de la superficie cerrada. En cambio, el campo eléctrico en un punto depende de todas las cargas

Distribución Continua

El teorema de gauss para distribución continua de cargas permite analizar el flujo de ciertos casos de forma mucha más práctica

¿Cómo calcular el campo eléctrico?

• Buscamos la dirección y sentido de $\vec{E}$
• Analizamos la dependencia de $\vec{E}$
• Elegimos una superficie cerrada $S$ acorde
• Calculamos $\iint ds$, $Q_{\text{enc}}$

De esta forma podemos despejar el módulo del campo eléctrico, y agregamos la dirección manualmente