Campo Eléctrico

El campo eléctrico es una magnitud vectorial que en cada punto $p$ apunta en la dirección de la fuerza eléctrica si pusiéramos en el punto $p$ una carga $q_0=1C$

$$\vec{E}=\frac{F_0}{q_0}⟹[\vec{E}]=\frac{N}{C}$$

El campo eléctrico es uniforme si es constante para todo punto $p$.

Así, la fuerza que experimenta una partícula cargada $q$ en cada punto $\vec{r}$ es de:

$$\vec{F}(q,\vec{r})=q\cdot \vec{E}(\vec{r})$$

Campo Eléctrico de una Carga Puntual

$$\vec{E}(\vec{r})=qk\cdot \frac{(\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}$$

• Punto Campo: $\vec{r}:(x,y,z)$
• Punto Fuente: ${\vec{r}}^{\prime }:(x,y,z)$
• Carga Puntual: $q$
• Constante: $k=1/4\pi {ϵ}_0$

Si la carga se encuentra en el eje de coordenadas, entonces tenemos:

$$\vec{E}(\vec{r})=qk\cdot \frac{\hat{r}}{r^2}$$

Si la carga puntual es negativa, entonces el sentido del campo se invierte. Entrante a la carga negativa.

Campo Eléctrico de un conjunto de Cargas

Debido al principio de superposición, podemos sumar los campos eléctricos de cada carga puntual y llegar a la siguiente definición

$$\vec{E}(\vec{r})=k\sum _i^n{q}_i\cdot \frac{(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}_i{\Vert }^3}$$

Campo Eléctrico en una Distribución Continua

Podemos pensar a este campo eléctrico como una suma de cargas infinitesimales. Es decir, una integral

$$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{r-r^{\prime }}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}\cdot dq$$

Si está distribuida en una línea, entonces podemos definir la densidad lineal de carga $\lambda$, y entonces $dq=\lambda dl$.

Si está distribuida en una superficie, podemos definir la densidad superficial de carga $\sigma$, y entonces $dq=\sigma ds$

Si está distribuida en un volumen, podemos definir la densidad volumétrica de carga $\rho$, y entonces $dq=\rho dv$

Tanto $\lambda ,\sigma ,\rho$ pueden depender de las coordenadas primadas. $\lambda ({\vec{r}}^{\prime }),\sigma ({\vec{r}}^{\prime }),\rho ({\vec{r}}^{\prime })$.

$r$ es el punto campo, y no se integra respecto a esta variable. $r^{\prime }$ por el otro lado es el punto fuente y varía dentro de la integral

Por lo tanto, definimos el campo eléctrico de una distribución continua de cargas en un volumen como

$$\vec{E}(\vec{r})=k{\iiint }_V\rho (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\cdot \frac{(\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{\Vert \vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{\Vert }^3}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$$

Líneas de Campo Eléctrico

Son curvas imaginarias, de modo que su tangente en todo punto del espacio sea la dirección del campo eléctrico $E$. Al representar la dirección del campo, se pierde la información del módulo.

Para remplazar esta información faltante usamos la densidad de líneas dibujadas, la cual es proporcional a la intensidad del campo. Cuantas más líneas haya alrededor de un punto $p$, mayor es la intensidad del campo en ese punto

Si alrededor de una carga $C$ hay más líneas de campo que alrededor de la carga $D$, entonces podemos afirmar que $\Vert Q_C\Vert >\Vert Q_D\Vert$

Las líneas de campo son salientes de las cargas positivas (fuentes), y entrantes en las cargas negativas (sumidero).

Las líneas de campo nunca se cruzan, ya que cada punto pertenece a una sola línea de campo.