Ondas Mecánicas

En física existen dos conceptos fundamentales. Las partículas, que responden a las leyes de Newton, y las ondas

Clasificación

Según el medio

• Ondas Mecánicas: Vibran las moléculas, necesitan un medio. Un ejemplo de esto es la cuerda de una guitarra, requiere de la misma cuerda para vibrar.
• Ondas Electromagnéticas: Vibra el campo, no necesitan un medio. Un ejemplo de esto es la luz, esta atraviesa miles de kilómetros en el vacío y no necesita un medio para propagarse. Solo pueden ser transversales

Según la dirección

• Onda Longitudinal: La velocidad de propagación tiene la misma dirección que la perturbación. Necesitan medio con resistencia a la compresión. Tienen compresiones y dilataciones
• Onda Transversal: La velocidad de propagación es perpendicular a la de la perturbación. Necesitan medios con resistencia a la flexión. Tienen crestas y valles.

Ecuación de Onda

Las ondas verifican la ecuación diferencial de onda plana.

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$$

Toda función cuyo argumento sea $x\pm vt$, resuelve la ecuación diferencial. $(y=f(x\pm vt))$

Una solución de esta ecuación puede ser: (Onda Armónica)

$$\xi (x,t)=A\cdot \sin (kx\pm wt+\phi )$$

Parámetros

• $\xi :$ Perturbación
• $x:$ Posición
• $t:$ Tiempo
• $A:$ Amplitud
• $k:$ Número de onda
• $w:$ Pulsación de la onda (Frecuencia Angular)
• $\phi :$ Ángulo inicial

Algunas conversiones comunes son:

• Velocidad de Propagación: $v=\frac{\lambda }{T}=\frac{w}{k}$
• Longitud de Onda: $\lambda =\frac{v}{f}$
• Número de Onda: $k=\frac{2\pi }{\lambda }$
• Frecuencia: $f=\frac{1}{T}=\frac{w}{2\pi }$

El sentido de $w$ indicará la dirección del desplazamiento:

• Si $w$ tiene sentido negativo, entonces la onda se desplaza en sentido $\hat{x}$ positivo.
• Si $w$ tiene sentido positivo, entonces la onda se desplaza en sentido $\hat{x}$ negativo.

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Derivadas Temporales

$$\frac{\partial \xi }{\partial t}=\pm wA\cos (\dots )$$ $$\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=-w^{2}A\sin (\dots )$$

Derivadas Espaciales

$$\frac{\partial \xi }{\partial x}=kA\cos (\dots )$$ $$\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}=-k^{2}A\sin (\dots )$$

Velocidad de las Ondas

La velocidad de propagación depende estrictamente de las propiedades del medio

• Cuerdas: la velocidad depende de la tensión $F$ de la cuerda y la densidad lineal $\mu$

  $$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$$

• Sólidos (Transversales): la velocidad depende del módulo de rigidez $G$ y de la densidad $\rho$

  $$v=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$$

• Sólidos (Longitudinales): la velocidad depende del módulo de Young $Y$ y de la densidad $\rho$.

  Se define módulo de Young, como el cociente entre el valor de la fuerza que recibe por unidad de área, y la deformación relativa que se le provoca al cuerpo.

$$\text{Young}:Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{L}}$$ $$v=\sqrt{\frac{Y}{\rho }}$$

• Gases: la velocidad depende del módulo de compresibilidad $B$ y de la densidad $\rho$.

  También se puede expresar en función del coeficiente adiabático $\gamma$, La constante de los gases ideales $R$, la temperatura $T$ medida en Kelvin, y la masa molecular $M$.

$$\text{Compresibilidad}:B=-\frac{\Delta P}{\Delta V/V}{|}_{\text{Adiabatico}}$$ $$v=\sqrt{\frac{B}{\rho }}$$ $$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$