Energía en Ondas

Potencia

La potencia $P$ de una onda se puede calcular como la derivada del trabajo respecto del tiempo, o la fuerza por la velocidad.

$$P={\xi }^2\cdot F\cdot k\cdot w\cdot {\cos }^2(kx\pm wt)$$

Si calculo el promedio de la potencia por unidad de área, llegamos a que

$$⟨P⟩=\frac{1}{2}\cdot [\rho \cdot \text{Seccioˊn}]\cdot v\cdot w^2\cdot A^2$$

En el caso de las cuerdas, $\mu =\rho \cdot \text{Seccioˊn}$

$$⟨P⟩=\frac{1}{2}\cdot \mu \cdot v\cdot w^2\cdot A^2$$

Intensidad

La intensidad de una cuerda está relacionada con la potencia que tiene la cuerda, por unidad de área.

$$⟨I⟩=\frac{\text{⟨Potencia⟩}}{\text{Seccioˊn}}⟹[I]=\frac{\text{Watt}}{m^2}$$ $$⟨I⟩=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v\cdot w^2\cdot A^2$$

Si la onda se propaga en tres dimensiones, entonces el área vale $4\pi R^2$

$$I=\frac{⟨P⟩}{4\pi R^2}$$

Energía Cinética

En modelo de partículas, se da que

$$E_c=\frac{1}{2}m\cdot v^2$$

Si tomamos que la velocidad es la derivada temporal de la perturbación, entonces podemos calcular la densidad de energía cinética de una onda

$$d{E}_c=\frac{1}{2}\rho \cdot v^2=\frac{1}{2}\rho \cdot A^2\cdot w^2\cdot {\cos }^2(\dots )$$

Si calculamos su valor medio, se simplifica y llegamos a que

$$⟨d{E}_c⟩=\frac{1}{4}\rho \cdot A^2\cdot w^2$$

Energía Potencial

En modelo de partículas, se da que

$$E_{Pel}=\frac{1}{2}K\cdot \Delta x^2$$

Asociamos la constante elástica $K$ al módulo de Young $Y$, y la velocidad de la partícula a la derivada espacial de la perturbación. Así podemos calcular la densidad de energía potencial

$$d{E}_{Pel}=\frac{1}{2}{v}_p^2\cdot \rho =\frac{1}{2}{v}_p^2\cdot \rho \cdot A^2\cdot K^2\cdot {\cos }^2(\dots )$$

Si calculamos su valor medio, se simplifica y llegamos a que

$$⟨d{E}_{Pel}⟩=\frac{1}{4}\rho \cdot A^2\cdot w^2$$

Energía Mecánica

Como el valor medio de la energía potencial y el de la energía cinética son iguales, entonces

$$⟨dE⟩=⟨d{E}_{c_m}⟩+⟨d{E}_{Pe{l}_m}⟩$$ $$⟨dE⟩=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot w^2\cdot A^2$$